九十學年暑期‧微積分學分班

第 44 講

這一講要談泰勒展開的誤差項。 它需要微分均值定理。如果有必要，請複習 第 40 講。 如果需要複習泰勒展開，看 第 33 講。

• 泰勒展開的誤差項

課外讀物

後記

接近尾聲，每一講的內容份量稍微稀釋一點點，以免造成太重的評量與考試負擔。 雖然這是所謂「三學分」的課，原則上每一講相當於「一個課堂鐘點」的內容。 但是，因為我知道這個班的學生都是中大自己的學生，而且絕大多數是理工學院的。 所以，我知道「三鐘點」是不夠的。其實，整個過程當中，我都沒有告訴同學們， 也沒有告訴助教 (但是他們大概有感覺)， 以我自己在課堂上教書的經驗，這份教材的一「講」經常超過我在課堂上的一「鐘點」 (除非遇到我很累或很忙的時候，才稍微放水)。 基於對理工學院之微積分課程的責任，我默默不宣地在暗地裡執行一個「四鐘點」的課。 這一點，對助教有些不公平，因為他們領的是「三鐘點」的薪水 (而他們都說，其實做了六鐘點的工作)。 但是，教育的責任，是不能輕易放開的。

現在，大家總算都快要苦完了。

不過，因為放過了一天的面授沒講新的內容 (六鐘點)， 以及我為了機械系有責任交代泰勒展開， 這兩個因素使得我的確不得不少教一些東西。這些東西主要是微分與積分的應用， 它們可以分為三類：

• 顯而易見或者可以輕易由電腦代勞的應用題。例如
  • 求極大、極小。
  • 函數曲線作圖。
• 不常在一般理工學院微積分課程中舉的例子。例如
  • 醫藥和化學反應類的簡單範例。
  • 一些生活經驗中的有趣小例子。
• 以後在專業課程中可以學到的應用。例如
  • 機率分布函數的意義和應用、期望值、中位數和標準差 (統計)。
  • 密度與質量、質量中心、功與能 (物理)。
  • 邊際價格與邊際獲利、複利、遠期價值 (經濟)。
  • 最佳化 (許多課程都會講到他們自己的最佳化數學模型)。

看了以上舉出的應用，有些同學或許可以想像，我在第一週講基本函數的時候， 在習題中留下了許多伏筆。那些伏筆本來都可以進一步引申出有趣的微積分應用。 可是現在都放棄了。

在微積分理論上，我們還是缺少一點點。那一點點，我其實在講義中留下了伏筆。 而且，我將會把這「一點點」需要補充的理論，設計成期末考題， 引導同學們自己動手去發現它們。(期末考可以看講義和筆記。)

自我評量

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