九十學年暑期‧微積分學分班

第五週驗收評量

1 (5 分)	請問 $\begin{displaymath}\int\,2^x\,dx=\hbox{?}\end{displaymath}$
2 (5 分)	請問 $\begin{displaymath}\int_0^2\,{ x^3\over 3}+2x\,dx=\hbox{?}\end{displaymath}$
3 (5 分)	請問 $\begin{displaymath}\int\,t^2(t^3-3)^9\,dt=\hbox{?}\end{displaymath}$
4 (5 分)	請問 $\begin{displaymath}\int\,x(x^2-4)^{3/2}\,dx=\hbox{?}\end{displaymath}$
5 (5 分)	請問 $\begin{displaymath}\int\,e^{\sin x}\cos x\,dx=\hbox{?}\end{displaymath}$
6 (5 分)	請問 $\begin{displaymath}\int\,\cos^2 x\sin^5 x\,dx=\hbox{?}\end{displaymath}$
7 (5 分)	請問 $\begin{displaymath}\int_1^8\,{ e^{\root 3\of x}\over \root 3\of{x^2}}\,dx=\hbox{?}\end{displaymath}$
8 (5 分)	請問 $\begin{displaymath}\int_{-1}^{e-2}\,{ 1\over y+2}\,dy=\hbox{?}\end{displaymath}$
9 (5 分)	請問 $\begin{displaymath}\int_0^{10}\,x\,e^{-x}\,dx=\hbox{?}\end{displaymath}$
10 (5 分)	請問 $\begin{displaymath}\int_1^3\,x^2\,\ln x\,dx=\hbox{?}\end{displaymath}$
11 (5 分)	請推導以下等式 $\begin{displaymath}\int\,x^n\,e^x\,dx = x^n\,e^x - n\,\int\,x^{n-1}\,e^x\,dx\end{displaymath}$
12 (5 分)	請推導以下等式 $\begin{displaymath}\int\,\cos^n x\,dx = { 1\over n}\,\cos^{n-1}x\,\sin x+{ n-1\over n}\,\int\,cos^{n-2}x\,dx\end{displaymath}$
13 (5 分)	請舉出一個在閉區間中沒有最小值的函數例子。
14 (5 分)	如果是一個在 $[0,\infty)$ 中的連續函數。請問是否一定沒有最大值？如果您認為是，請說明理由。如果認為不是，請舉一個反例。
15 (5 分)	請問 $\begin{displaymath}\lim_{n\to\,\infty}\,{ 1\over n}\,\sum_{k=0}^{n-1}\,\ln\Bigl({ n+k\over n}\Bigr)=\hbox{?}\end{displaymath}$
16 (5 分)	請計算 $\sin x$ 在 $[0,2\pi]$ 內的積分平均值。並且在 $(0,2\pi)$ 中找到一個「達到」此平均值的點。
17 (5 分)	若定義 $\begin{displaymath}f(x) = \cases{\cos{ 1\over x} &if $x\not=0$\cr0 &else}\end{displaymath}$ 請問在處是否連續？簡述理由。
18 (5 分)	若定義 $\begin{displaymath}f(x) = \cases{\sin{ 1\over x-\pi} &if $x\not=\pi$\cr 0 &else}\end{displaymath}$ 請問在 $x=\pi$ 處是否連續？簡述理由。
19 (5 分)	如果 $\begin{displaymath}f(x) = \cases{{\displaystyle\frac{\sin x - x}{x^3}} &if $x\not=0$\cr \noalign{\medskip }A &else}\end{displaymath}$ 在整個實數上都是連續函數，請問 A 應該是多少？簡述理由。
20 (5 分)	如果 $\begin{displaymath}f(x) = \cases{{\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2-x}}} &if $x<0$\cr\noalign{\medskip } A & if $x=0$}\end{displaymath}$ 在 $(-\infty,0]$ 區間中是連續函數，請問 A 應該是多少？簡述理由。