評量5.38

1. ∫x²cos2xdx = (1/2)∫x²d(sin2x) = (1/2)[ x²sin2x - 2∫(sin2x)xdx ] = (1/2)x²sin2x + (1/2)∫xd(cos2x)=
   (1/2)x²sin2x + (1/2)[ xcos2x - (1/2)∫cos2xd(2x) ]= (1/2)x²sin2x + (1/2)xcos2x - (1/4)sin2x + c
2. ∫(x+2)e^2xdx = (1/2)∫(x+2)de^2x = (1/2)[ (x+2)e^2x - ∫e^2xdx ] = (1/2)(x+2)e^2x - (1/4)e^2x + c
5. ∫xⁿe^xdx = ∫xⁿde^x - n∫e^xx^n-1dx
6. ∫cosⁿxdx = ∫cos^n-1xdsinx = cos^n-1xsinx + (n-1)∫sin²cos^n-2xdx = cos^n-1xsinx + (n-1)∫(1-cos²x)cos^n-2dx =
   cos^n-1xsinx + (n-1)∫cos^n-2xdx - (n-1)∫cosⁿxdx
   ∴∫cosⁿxdx = (1/n)cos^n-1xsinx + [(n-1)/n]∫cos^n-2xdx
7. ∫e^axsinbxdx = (1/a) e^axsinbx - (b/a)∫e^axcosbxdx
   =(1/a) e^axsinbx - (b/a) [(1/a) e^axcosbx + (b/a)∫e^axsinbxdx]
   移項得 A = a/(a² + b²) ; B = -b/(a² + b²)

評量5.39

1. 略;舉一個在必區間沒有最小值的函數
2. NO,例如:
   
   函數 f(0) = -1、f(1) = 1 而且存在 (1/2) 使得f(1/2) = 0
   但此函數左極限不等於右極限不等於函數值，故不連續。
3. NO,例如: sinx ; 因為sinx在[0,∞)間為連續函數，有最大值1
4. 設g(x) = x - f(x) 根據題意，g(0)=-1 ; g(1)=1
   所以g(x)亦在[0,1]內連續，根據中間值定理，存在
   c屬於(0,1)，使得g(c)=0 ，也就是說f(c) = c 得證。
6. 平均值=0 ; 達平均的點x = π
7. 1

評量5.40

1. 不連續，因為函數極限不存在。
2. 不連續，因為函數極限不存在。
3. A=(-1/6)，因為根據L'Hospital得知函數極限趨近(-1/6)
4. A=0 ，因為根據L'Hospital得知函數極限趨近於0
5. 3c² = 1 ;c = 0.5774 or -0.5774(其中一個即可)
6. 是，平均速度60(Km/Hr)，所以有可能不超速也能到達
7. 根據微積分基本定理(第二型態):
   f'(a)(1 - 0) = f(1) - f(0) = 0
   所以f(x)在(0,1)內必有一相對極值。