數學中最美的等式

請回想虛數單位元素 $i=\sqrt{-1}$ 的整數次方有「四段輪迴」的性質：

$\begin{eqnarray*} &&i^0 = 1,\quad i^1=i,\quad i^2=-1,\quad i^3 = -i \\ &&i^4 = 1,\quad i^5=i,\quad i^6=-1,\quad i^7 = -i \\ &&\cdots \end{eqnarray*}$

也就是說，

$\begin{displaymath} i^n = \left\{\begin{array}{ll} 1 & \mbox{ if } n \equiv 0 \p... ...\\ -i & \mbox{ if } n \equiv 3 \pmod 4 \\ \end{array}\right. \end{displaymath}$

因此，將

代入指數函數在 0 附近的泰勒級數，得到

$\begin{displaymath} e^{ix} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(ix)^k}{k!} \end{displaymath}$

現在，我們把偶數項 (也就是實數項) 集合在一起，把奇數項 (也就是虛數項) 集合在一起，就得到如下的級數：

$\begin{displaymath} e^{ix} = \bigl(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!... ...gl(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots\bigr) \end{displaymath}$

您是否像歐拉 (Euler) 當年一樣，發現了以下這個有趣的等式？

$\begin{displaymath} e^{ix} = \cos x + i\sin x \end{displaymath}$

其實，現代數學還要擔心一個嚴格的問題：一個無窮級數能不能隨便改變它各項相加的順序，而保持同樣的和？當年的歐拉並不警覺有這個問題，他就這麼做了。後代的數學家，在嚴格證明之後，同意歐拉這樣做是對的。

關於上述等式，我們暫且稱其「歐拉等式」，我們可以獲得一些立即而實用的計算法。首先，就是被稱為棣美弗定律的等式：

$\begin{displaymath} \bigl(\cos x + i\sin x\bigr)^k = \bigl(e^{ix}\bigr)^k = e^{ikx} = \cos kx + i\sin kx \end{displaymath}$

棣美弗並沒有使用歐拉等式，就用高明的辦法發現了以上等式，但是，利用歐拉等式，它就變得簡單極了。

因為正弦是奇函數而餘弦是偶函數，所以

$\begin{displaymath} e^{-ix} = \cos(-x) + i\sin(-x) = \cos x -i\sin x \end{displaymath}$

因此 $e^{ix}$ 的共軛複數就是 $\overline{e^{ix}}=e^{-ix}$ 又因為

$\begin{displaymath} \vert e^{ix}\vert = \sqrt{\cos^2x+\sin^2x} = 1 \end{displaymath}$

所以我們看到， $e^{ix}$ 其實就是複數平面之單位圓上的一個點，而它與實軸的夾角是 x。

現在，將 x 代入特殊角 $\pi$ ，得知

$\begin{displaymath} e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi = -1 \end{displaymath}$

現在，選美皇后要揭曉了：數學中最美的等式就是‧‧‧

$e^{i\pi}+1 = 0$

為什麼她最美？數學家可以舉出好幾個理由：

因為她短。數學家喜歡越短越好。
因為她表現了數學中最重要的三個單位元素：0 和 1 和 i。
因為她表現了數學中最重要的兩個常數：和 $\pi$ 。
因為她表現了數學中最重要的運算：加法，乘法，次方。
因為她表現了數學中最重要的觀念：「什麼是等於？」。

很美吧？

習題

請問
請問
請推導
請推導
請推導

其中代表複數的實數部分。
請推導
請寫出以 0 為參考點的泰勒級數。
利用以 0 為參考點的泰勒級數，求它在 0 的六次導數：
請用 Maple 計算 exp(I*(Pi/3)) 和為何答案相同？
如果請問 a 是多少？
若 n 是一個正整數，證明的 n 個根就是

Created: Aug 17, 2001
Last Revised: Aug 17, 2001
© Copyright 2001 Wei-Chang Shann 單維彰