二項級數

回顧二項係數 (binomial coefficient) 的定義：

$\begin{displaymath} {n \choose k} = C^n_k = \frac{n!}{k!\,(n-k)!} = \frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!} \end{displaymath}$

根據此定義，很明顯地 ${n \choose k} = {n \choose n-k}$ 所謂二項係數這個名詞，來自於它們是二項式展開的係數，如下：

$\begin{displaymath} (x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} x^k y^{n-k} = \sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k \end{displaymath}$

因為 $\vert x\vert$ 和 $\vert y\vert$ 兩數之間，總有一個比較小，就說是 $\vert x\vert< \vert y\vert$ 吧 (如果兩個數一樣，那麼就成了 0ⁿ 或者

根本沒有「二項式」可談了)。那麼，我們可以令 $\alpha = x/y$ 所以二項式可以拆成 $(x+y)^n = y^n(1+\alpha)^n$ 因此，我們認識到，其實只要考慮以下二項式就夠了：

$\begin{displaymath} (1+x)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} x^k, \quad\hbox{for } \vert x\vert<1 \eqno(1) \end{displaymath}$

從二項係數的定義來看，只要 k 是個非負整數，那麼即使 n 不是個正整數也沒關係。若 s 是個實數，則可以定義

$\begin{displaymath} {s \choose 0} = 1 \end{displaymath}$

和

$\begin{displaymath} {s \choose k} = \frac{s(s-1)(s-2)\cdots(s-k+1)}{k!},\quad\hbox{for }s\in\Re, k\in N \end{displaymath}$

如果 s 是個非負整數，則

$\begin{displaymath} {s\choose k} = 0,\quad\forall k\geq s+1 \end{displaymath}$

所以 (1) 式就算寫成一個無窮級數也可以：

$\begin{displaymath} (1+x)^n = \sum_{k=0}^\infty {n \choose k} x^k, \quad\hbox{for } \vert x\vert<1 \end{displaymath}$

但是，如果 s 不是非負整數，那些二項係數就沒完沒了，也就是說

$\begin{displaymath} {s \choose k} \not= 0\quad\forall k\in N \end{displaymath}$

讓我們試試看 s = -1 吧，那些二項係數就是

$\begin{displaymath} {-1\choose k} = \frac{(-1)(-2)(-3)\cdots(-1-k+1)}{k!} =\frac{(-1)^kk!}{k!} = (-1)^k \end{displaymath}$

所以，如果套用二項式展開公式，就得到

$\begin{displaymath} (1+x)^{-1} = \sum_{k=0}^\infty {-1\choose k}x^k = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k x^k, \quad\hbox{for } \vert x\vert<1 \end{displaymath}$

另一方面，回顧無窮等比級數公式，代入 -x 就得到

$\begin{displaymath} \frac1{1+x} = \frac1{1-(-x)} = \sum_{k=0}^\infty (-x)^k = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k x^k, \quad\hbox{for } \vert x\vert<1 \end{displaymath}$

嘩，多麼美妙的巧合啊！

牛頓在三十歲以前，就發現了這個巧合，而且他很快地確信，一般而言，這個無窮多項的二項式展開都是對的：

$\begin{displaymath} (1+x)^s = \sum_{k=0}^\infty {s \choose k} x^k \eqno(2) \end{displaymath}$

這就是 二項級數 (binomial series)。三十多年以後，牛頓的學生泰勒發現這是他的「泰勒級數」的一種特例。讓我們看看

以 0 為參考點的泰勒展開吧。

$\begin{eqnarray*} f(x) = (1+x)^s &\quad& f(0)=1 \\ f'(x) = s(1+x)^{s-1} &\quad&... ...s-1)(s-2)(1+x)^{s-3} &\quad& f^{(3)}(0)=s(s-1)(s-2) \\ &\vdots& \end{eqnarray*}$

若 s 是一個非負整數，則 $f^{(s)}(x) = 1$ 而且對所有的整數 k > s，總是 $f^{(k)}(x)=0$ 如果 s 不是非負整數，那上述導數就永遠可以做下去，而且永不是 0。代入泰勒多項式的公式，很容易看到

$\begin{eqnarray*} (1+x)^s &=& 1 + sx + \frac{s(s-1)}{2!}x^2 + \frac{s(s-1)(s-2)}... ...oose 0} + {s\choose1}x + {s\choose2}x^2 + {s\choose3}x^3 +\cdots \end{eqnarray*}$

而且這個泰勒級數的收斂半徑是 R = 1。

例如

$\begin{displaymath} \sqrt{1+x} = \sum_{k=0}^\infty {1/2\choose k} x^k = 1 +\frac... ... \frac1{16}x^3 - \frac5{128}x^4 + \cdots, \quad \vert x\vert<1 \end{displaymath}$

而

$\begin{displaymath} \frac1{\sqrt{1+x}} = \sum_{k=0}^\infty {-1/2\choose k} x^k =... ...rac5{16}x^3 + \frac{35}{128}x^4 - \cdots, \quad \vert x\vert<1 \end{displaymath}$

習題

請推導出的一般項公式 (k 是正整數)。
請問 (練習級數操作，不要用羅必達法則)
請推導出以 0 為參考點的六階泰勒多項式。
請推導出以 0 為參考點的四階泰勒多項式。
請推導出以 0 為參考點的四階泰勒多項式。