函數極限的基本事實

本節不談極限的定義，只介紹一些最基本的操作方法。 極限的定義是用來證明定理的。 它可以用來檢查一個數「不是」極限，卻通常不能幫助我們「計算」極限。 我們暫時不去證明任何定理，因此現在不談極限的定義。 以下列出來的事實，都可以用極限的定義給予數學證明， 只是我們現在不這麼做了。

連續性

函數極限之最基本的事實，就是如果 在 c 點連續，則

而 可以是基本類型的函數，也可以是基本類型函數經過加減乘除、合成、反函數運算、 分片定義所產生出來的。請讀者自行回顧連續函數的性質。

常數律

這其實是常數函數極限的一個特例。但是經常要用，所以獨立來說： 令 p 是任何實數常數，則

零分母

如果

我們只說 T > 0 的情況，T < 0 可以類推。 這時候我們要留心，當 的時候， 是從正數漸減到 0 還是從負數漸增到 0？ (當然，也有可能兩者都不是，它可能是一邊正負震盪，一邊將振幅縮小到 0。 但是我們此刻不討論這種狀況。) 如果是前者，我們記做 ， 如果是後者，則記做 。 那麼

以上的討論也都適用於 和 的情形。注意， 並非實數，所謂「 」 只是一個借用的符號，意思是說數值越來越大，大得沒有任何實數可以比它更大。 我們稱「 」 為 發散 (divergent)。

型式

如果

則

什麼都可能發生，千萬不要亂猜。我們稱這種型式的極限為 不定型式 (undetermined form)。

變數變換

如果 是 和 的合成函數：

而且

則

例如 可以視為 其中 而 因為

所以

等式兩邊的極限，都是 的不定型式，所以我們才說，什麼都有可能發生，千萬別亂猜。 我們將以另外一篇專文來探討上述極限問題。

以下舉一些實作的例子。

例一

因為 在 x = 0 處連續，所以

例二

因為 在 x = 1 處連續，所以

例三

因為有理函數的分子分母都是多項式，因此都是連續函數， 求極限只要代入即可。但是要檢查有沒有發生零分母。

例四

類似前例，

例五

以下三題都是不定型式

但是

習題

1. 請問
   
   
   
   
2. 請問
   
   
   
   
3. 請問
   
   
   
   
4. 請問 [FD]