函數的連續性質 (基本函數)

這篇不假設讀者知道極限的定義， 當然也就不談如何「證明」哪些函數在哪些點上是連續的。 我們只是列舉基本函數的連續或不連續性質，把它們當作事實來使用即可。

以下，我們一一列舉基本類型函數的連續性之事實。 有必要的話，請讀者回顧它們的曲線圖形，其實它們的連續性是非常符合直覺的。

多項式

多項式包含了常數函數、線性函數、冪數是正整數的冪函數。 這些函數在整個實數 上連續。

指數函數

對任意正數 a，指數函數 在整個實數 上連續。指數函數的值域是 。

對數函數

對數被視為指數的反函數，適用於反函數的規則，不另討論。

三角函數

正弦函數在整個實數 上連續。其他三角函數都是正弦的變化，詳於後。

冪數為有理數的冪函數

如果 是一個有理數，其中 n 和 m 是約分化到最簡的整數。 若 r < 0 則適用於函數的除法規則，詳於後。 所以現在假設 r > 0。

• 如果 m 是奇數，則 在整個實數 上連續。
• 如果 m 是偶數 (則 n 必為奇數)，則 在 上連續。

冪數為無理數的冪函數

雖然我們未必知道無理數的冪數要怎樣計算， 但是在觀念上承認它存在。 因為負的冪數適用於函數的除法規則，所以只討論正無理數。 等我們知道算法了之後，就會明白，當 r 是正無理數的時候， 只有在 上才有意義，而且它在 上連續。

習題