函數的連續性質 (定義)

這一篇只是列出一些關於函數之連續性質的基本事實，既不打算深入，也不打算嚴格。其目的只是讓我們能夠操作一些基本而且常常需要的極限問題。令 c 是一個實數，函數在 c 的「附近」有定義，如果

則我們稱

在 x = c 處連續 (continuous)，或者就說

在 c 點連續。讓我們簡短地闡述，以上這個定義至少表示了

上述的極限問題中，x 可以從 c 的右側或左側趨近於 c，因此我們必須假設在 c 的左邊附近和右邊附近都有定義，簡稱為「附近」。這個「附近」到底要多近？其實不要緊，因為 x 是要趨近於 c 的，所以不管多近都可以。

所以，我們用極限來定義了連續。但是，極限是什麼，卻故意不在這裡說明。我們寧願暫時對於極限保持數值計算上的認識。因為，在這樣初級的階段，一頭栽進極限的數學論述中，恐怕是得不償失的。

如果在某個區間 [a, b] 中的每個點都連續，則我們簡單地說在 [a, b] 上連續。其中的閉區間可以改成開區間，a 可以改成， b 可以改成。或者，區間符號可以改成任意的實數子集合。

那麼，什麼是不連續呢？若

我們就說

在 c 點 不連續 (discontinuous)。這可能包含了以下幾種可能的情況，有下列任何一種情況發生，這個函數就在 c 點不連續。

函數在 c 這一點沒有意義，例如

在 c 點不連續。
函數在 c 點的左、右極限

其中之一 (或兩者) 趨於無窮大 (或負無窮大)，或者雖然兩個都存在卻不相等。例如

在 0 點不連續 (0 的左極限是 -1，右極限是 1，兩者存在卻不相等)。
函數的極限

存在，在 c 點也有定義，但是。暫時不舉例。