三角函數

直角三角形三個邊的兩兩比值，就定義了六種三角函數。 根據直角三角形的幾何性質，這六個函數其實都可以從一個函數導出來。 因此，之所以要說六個，而不是一個，只是為了應用上的方便。 我們就從那最基礎的一個開始：正弦 函數 (sine)：



正弦函數

當 x 是一個銳角的角度時，sin x 有簡單的幾何意義，如下： 考慮一個以 x 為一夾角的直角三角形， 則 sin x 就是 x 之 (對邊 : 斜邊) 的比值。 因為所有有一個角是 x 的直角三角形都相似，而且我們只關心邊長之間的比值， 所以不必理會各邊的長度。 因此，我們可以隨我們的方便，規定三邊裡其中一邊的邊長 （另外兩邊就自動決定了）。例如，規定斜邊長是 1，參照下圖


[Fig 26]

角 x 的度量單位，至少有兩種：所謂的角度和弧度。 角度是小學生都知道的，一個圓周等分成 360 分，是為 360 度。 弧度應該是在高中學的，是半徑為 1 的 單位圓 (unit circle) 上， 圓心角為 x 所對的弧長。 因此，同一個角 x，以角度為單位，其數值介於 0 與 360 之間； 以弧度為單位，其數值介於 0 與 之間。例如直角的角度是 90 而弧度是 ， 平角的角度是 180 而弧度是 。 一般而言，同一個角的角度 g 與弧度 之間，存在一個線性函數的關係：



高等數學一向採用弧度單位來測量角。 為什麼選擇採用弧度而不用角度？ 答案與微積分有關，我們稍後再解釋。

至於 sin x 的值呢？根據畢氏定理， 我們知道幾個特殊角的正弦值。 例如



其他銳角的正弦值，有些可以用半角公式、三倍角公式、積化和差、和差化積等等公式來算。 但是對大多數角的正弦值，是不知道該怎麼算的。 雖然三角函數的那些公式，在兩千年前的希臘文明中，都已經被發現了。 但是計算任意角之正弦值問題，一直要等到十七世紀，與微積分在同一個時代被發現， 而後被併在整個微積分的課題內。

如果角度不是銳角，而是介於 與 之間的角，則要從平面座標上的單位圓去廣義解釋正弦的「斜邊」與「對邊」意義。 總之，斜邊總是圓的半徑，角的一邊總是 x 軸，角的另一邊與圓相交， 則此交點的「高度」 (也就是 y 座標) 就是正弦值。參照下面四張示範圖。
sin (2.5) sin (1/2)
   
sin (4) sin (2*Pi-1)
   

另一種瞭解正弦函數的方式，是想像一個在單位圓上以逆時針方向等角速度旋轉的點 P。 則點 P 的 y 座標與時間的關係，就是正弦函數。參照以下動畫。

以下是



的函數圖形。
sin(x), x=0..Pi, y=-Pi..Pi
 
注意，我們特別將這張圖的橫座標與縱座標的尺度調成一致， 可以看出正弦波的「起伏」不是很大。觀察


因為 x 的「鄰邊」總是短於「斜邊」，所以其比值總是 <= 1， 這是很容易理解的。

當 x < 0 或是 x > 2*Pi， 我們可以定義「廣義角」。就好像圓周上的點，轉了一圈又一圈， 但是都還是在同一個圓周上。 對於廣義角 x，我們總可以找到唯一的一個整數 n， 使得



那麼，n 就相當於轉的圈數 (以逆時針為正旋轉方向)。 令 就是那個介於 0 和 之間的角度，則


所以，對所有的實數 x，正弦函數都是有意義的。 也就是說，正弦函數的定義域是 。 以下我們呈現比較大範圍的正弦曲線圖形。
sin(x), x=-2*Pi .. 4*Pi
 

讀者不難觀察，正弦函數是奇函數。也就是說，



餘弦函數

另 x 是一個銳角，再度考慮一個某一角為 x 的直角三角形。 則 x 的餘弦 (cosine) 就是 x 之 (鄰邊 : 斜邊) 的比值。記做 。 因為 x 的鄰邊就是 的對邊，因此



如果 x 不是銳角，甚至是廣義角，都用同一個 (上述) 公式來計算。 由此可見，餘弦值其實可以由正弦值求得。同樣地，


而以下是 cos x 的曲線圖形。 可以看得出來，它和正弦函數「看起來好像」。 注意 sin(0)=0 而 cos(0)=1。
cos(x), x=-2*Pi .. 4*Pi
 

讀者不難觀察，餘弦函數是偶函數。也就是說，



其他四個三角函數

還是一樣，先考慮 x 是一個銳角，我們定義它的幾何意義， 再推導計算公式，並依照該公式處理非銳角的 x。
正切tangent   (對邊 : 鄰邊) 的比值
餘切cotangent   (鄰邊 : 對邊 ) 的比值
正割secant   (斜邊 : 鄰邊) 的比值
餘割cosecant   (斜邊 : 對邊) 的比值

過去的中學生都學過一個六角形示意圖， 來幫助我們記憶這六個三角函數之間的基本關係。

[Fig 27]
這個圖結合了以下幾種基本關係:
  1. 對角線之兩端互為倒數，例如
  2. 每個頂點為相鄰兩端點之積, 例如
  3. 三個灰色三角形上，左上方頂點與右上方頂點之平方和等於下方頂點之平方， 例如 和 。 附記：我們通常將三角函數的次方寫成


除了上述的基本關係，請各位同學複習幾個常用的等式。 至少包括以下四組：



在這六個三角函數中，我們比較關心正弦、餘弦、正切三個。 因為直角的餘弦是 0，亦即 ， 同理可知 。 推廣到廣義角，得知



由於 tan x 的分母是 cos x， 所以 tan x 在這些點上沒有意義。 換句話說，正切函數的定義域是


以下是正切函數的曲線圖形：
tan(x), x=-2*Pi .. 4*Pi
 

習題

  1. 轉換以下角度到介於 0 和 2*Pi 之間的弧度：[GR]
    1. 150 度
    2. 72 度
    3. -45 度
    4. 1080 度
  2. 在一個半徑為 3 的圓上，圓心角 所對的圓周弧長為幾？
  3. 推導


  4. 推導以下等式 [GR]


  5. 推導以下等式 [GR]


  6. 計算
  7. 計算
  8. 計算
  9. 計算
  10. 計算
  11. 計算
  12. 計算
  13. 計算
  14. 計算
  15. 若接受正弦函數是奇函數這個事實，證明餘弦函數是偶函數。
  16. 討論正切函數是否有奇偶性質？
  17. 討論正弦函數在哪些區間中是單調函數？
  18. 討論正切函數在哪些區間中是單調函數？
  19. 證明
  20. 討論 sec x 在哪些點上沒有意義？
Created: Oct 16, 1996
Last Revised: Jul 26, 2001
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