單調函數

如果函數 隨著自變量 x 的增加而增加（或者持平），也就是

以類似的定義，我們說函數漸減 (decreasing) 或不遞增 (non-increasing)， 或者嚴格漸減 (strictly decreasing)。 因為非常類似，就不再贅述了。

例如 x ² 在 區間內漸減，而在 區間內漸增，如下圖。

y = x^2

我們看到，當函數漸減的時候，曲線下降；漸增時，曲線上升。 注意，我們一律順著自變量座標軸的方向（通常是從左到右）解讀函數曲線。

當底數 a > 1 的時候，指數函數 與對數函數 都是漸增的。但是當底數 a < 1 的時候， 它們都是漸減的。

一個函數如果不停地嚴格漸增，未必會趨於無窮大； 因為有可能有水平漸近線。如下圖。
同理，不停地嚴格漸減，也不一定會趨於負無窮大。

一個函數若是漸增或者漸減，統稱為單調函數 (monotonic function)。 例如線性函數、指數函數與對數函數，都是單調函數。 一個 n 階多項式的曲線，至多有 n - 1 次轉折， 也就至多可以將實數分為 n 段，在每一段內都是單調的。 注意，是「至多」，所以 n 階多項式還是有可能是單調函數。 參考以下兩個範例，它們都是三階多項式，一個轉折兩次 (漸增、漸減、漸增)，一個沒有轉折 (單調)。

y = x^3 + x^2 - x + 2	y = x^3 + x^2 + x + 1

警告

這一節提到的形容詞：漸增、嚴格漸增、漸減、嚴格漸減、不遞增、不遞減、單調， 都不是統一的專有詞彙。其他作者可能用了同樣的詞卻給定不同的意義。 讀者需要小心檢查這些詞在不同書本裡面的定義。

習題

1. 討論線性函數的漸增或漸減性質與其斜率的關係。
2. 設 n 是正整數時，討論冪函數 x ⁿ 的漸增或漸減情形。
3. 討論以下曲線的漸增或漸減情形。
   
4. 以下曲線有一條水平漸近線 (y = 1)，和 x 軸有一個交點 (0,0)。 請猜想它是什麼函數？（提示：這一題其實有非常多種可能，而其中之一是有理函數， 分子與分母都是二階多項式。）