冪函數

所謂冪函數就是以下型態的函數



其中 ap 是兩個常數。 a 可以是任何實數,稱為 係數 (coefficient)。 p 目前只能是有理數,稱為 x冪數 (power) 或 指數 (exponent)。 例如球體積 V 和半徑 r 之間的關係,就是一個冪函數:


我們已經瞭解,當 p 是正整數的時候, xp 表示 x 自乘 p 遍。而



是正有理數的時候,


但是如果 m 是偶數,則只有當 xn 非負才有意義。 而如果 這個意思是說

我們暫時不討論,當冪數是無理數的時候, 例如 , 有什麼意義? 隨著數學知識的增加,我們將會知道它是什麼意義。

我們必須對冪函數的曲線圖形有概念性的瞭解。 現在我們先瞭解 x >= 0 的情況。 大家稍微想想都能瞭解,在此,我們用以下表格和圖形來做個概述。
p > 0 p0 < x < 1 x > 1
x p p 越大,x p 越小 p 越大,x p 越大
x -p p 越大,x -p 越大 p 越大,x -p 越小

y = x^p, p = 4, 2, 1, 1/2, 1/4, y = x^(-p), p = 4, 2, 1, 1/2, 1/4,
   

如果 x < 0,則並非對所有的冪數 px p 都有意義。 如果 n 是個正整數且為偶數,則 x nx -n 都對所有的實數 x 有定義。 而且它們的圖形 對稱 (symmetric) 於 y 軸。觀察以下圖形, 我們看到,當 n 越來越大, x n 在 原點 (0,0) 附近就越來越扁平。
y = x^n, n = 2, 4, 8 y = x^(-n), n = 2, 4, 8
   
以上的六個函數圖形,都是 凹向上 (concave up)。

如果 n 是個正整數且為奇數,則 x nx -n 也都對所有的實數 x 有定義。 但是它們的圖形 奇對稱 (anti-symmetric) 於 y 軸。觀察以下圖形, 我們還是看到,當 n 越來越大, x nx = 0 附近就越來越扁平。
y = x^n, n = 3, 5, 9 y = x^(-n), n = 3, 5, 9
   
以上的六個函數圖形,當 x > 0 時,都是凹向上; 而當 x < 0 時,都是 凹向下 (concave down)。

從前面的圖中,我們還可以觀察到冪函數曲線的幾個特性, 並且可以利用它們來介紹一些名詞。 以下都假設 n 是正整數。

一個特例,冪數 p = 0 時,x p = 1, 所以這時候冪函數退化成了常數函數。 (是的,我們規定 00 = 1。)

習題

  1. 題目
  2. 題目 [HH]
  3. 哺乳類動物的表皮面積 S 與體重 M 之間的關係大約是


    其中 k 是比例常數,與物種有關。 如果我們知道一位體重 70 公斤的成人之皮膚面積大約是 18600 平方公分, 請計算 k 大約是多少? 那麼,一位體重 60 公斤的成人之皮膚面積大約是多少? [HH]
  4. 考慮 y = x nn 是正整數。 當 n 非常非常大的時候,您猜想它在 0 < x < 1 範圍內的曲線長度大約是多少?為什麼這樣猜?

Created: Oct 11, 1996
Last Revised: Jul 23, 2001
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