1.1 定義空間
【基本定義】

一個有限能量的函數空間 L2([a，b]) 定義如下:

L2([a，b])=f:[a，b]
什麼樣的函數在 L2 中呢? 其實這種函數很多， 像 eix 就在 L2 ( [a，b] ) 裡面， 而 則在 裡面 ( 但不在 L2([0，1]) 裡面 ). 這是合理的，當太空梭脫離地球時，需要比地球引力 還大的力量， 因為 所以地球引力是有限的， 太空梭和人造衛星才能脫離地球. 如果就圖形上看來， 函數 f 就好像是有重量的鐵鏈， 或是有彈性的薄膜一樣， 在 [a，b] 中， 好像有股力量支撐著它， 我們稱 [a，b] 為 support. 再舉一個例子， 在圖形上表示曲線 " 平方 " 下的面積 ( = 能量 ) 是有限的.

因為在物理意義之下，人類所接觸的事物都是有限能量的， 所以我們要特別討論 L2. 又因為在數學意義之下， 我們所重視的是幾何意義 - 有了內積就可以定義長度， 定義角度， 就可以比大小， 比距離， 談收斂.

 【模數】 現在介紹一種計算長度的算子 - Norm ( 模數 )
若 N 表示模數， 則 N 符合下列三個條件:
  2. N( f ) = 0 f = 0 V
  3. N ( f+g ) N ( f ) + N ( g )
在 L2 中， 常用的模數定義如下:
f L2
N ( f ) = f =
因為 f L2， 所以這個積分一定小於

剛才我們提到內積 <v，w> 和長度， 角度有關.
用內積可以定義出長度:

v =
用內積可以定義出角度:
cos =

接著要定義 L2 中的內積， 若 f , g L2 則定義內積為:

要特別注意的是，積分中用了共軛複數，因為內積和長度之間有對應關係， 如果不用共軛複數的話，應該相等的式子

f =
就會相差一個絕對值， 而不會相等了.
[back]