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Moment Generating Functions

隨機變數 X 的 動差生成函數 (moment generating function) M(t) 定義如下: 對所有實數 t

$\begin{array}{l} M(t)=E[e^{tX}] \\ \\ = \left \{ \begin{array}{ll} \displayst... ... & \qquad \mbox{X 為連續且機率密度函數為 f(x)} \end{array} \right .\end{array}$

因為 X 的所有動差都可經由對 M(t) 連續微分, 然後在 t=0 求其值而得到, 所以我們稱 M(t) 為 X 的動差生成函數. 例如,

$\begin{array}{rcl} M^{'}(t)&=&\displaystyle\frac{d}{dt} E [e^{tX} ] \\ \\ &=&E... ...le\frac{d}{dt} e^{tX} \right ] \\ \\ &=&E [ Xe^{tX} ] \qquad (6.1) \end{array}$

其中我們假設微分和期望值的運算次序是可以交換的. 也就是說, 在離散的情形下, 我們假設

$\displaystyle\frac{d}{dt} \left [ \displaystyle\sum_x e^{tx} p(x) \right ] = \displaystyle\sum_x \frac{d}{dt} \left [ e^{tx} p(x) \right ]$

而在連續的情況下, 我們假設

$\displaystyle\frac{d}{dt} \int_{-\infty}^\infty e^{tx} f(x) dx = \displaystyle\int_{-\infty}^\infty \frac{d}{dt} \left [ e^{tx} f(x) \right ] dx$

此假設對所討論的分布幾乎都可以驗證(且事實上)是對的. 因此, 根據 (6.1) 式, 在 t=0 求其值得 M^' (0) = E [X] 同理

$\begin{array}{rcl} M^{''} (t) & = & \displaystyle\frac{d}{dt} M^{'} (t) \\ \\ ... ...aystyle\frac{d}{dt} (Xe^{tX}) \right ] \\ \\ & = & E [X^2 e^{tX} ] \end{array}$

所以 M^''(0) = E[X²] 一般而言, M(t) 的 n 階導數為

$M^{(n)} (t) = E[X^n e^{tX} ] \qquad n \geq 1$

因此,

$M^{(n)} (0) = E[X^n] \qquad n \geq 1$