Computing Probabilities by Conditioning

我們不只可利用條件期望值來求一隨機變數的期望值, 同時亦可用同樣的方法求得有關的機率. 欲達此目的, 設 E 為任一事件且定義指標隨機變數 X 如下:

$ X = \left \{ \begin{array}{ll} 1 & \qquad \mbox{若 E 發生} \\ 0 & \qquad \mbox{若 E 不發生} \end{array} \right. $
則由 X 的定義得
$\begin{array}{rcl} E[X]&=&P(E) \\ \\ E[X\vert Y=y]&=&P (E\vert Y=y) \qquad \mbox{對任意隨機變數} Y \end{array}$
因此,
$ \begin{array}{lll} P(E)&=&\displaystyle\sum_y P(E\vert Y=y) P(Y=y) \qquad \mb... ...infty P(E\vert Y=y)f_Y(y)dy \qquad \mbox{若 Y 是連續的}\qquad (4.8) \end{array}$
值得一提的是, 當 Y 為離散隨機變數, 且所有可能值為 $y_1,\ldots,y_n$ 時, 若定義事件 Fi 如下: $ F_i = \{ Y = y_i \}$, $i = 1,2,\ldots,n$則 (4.8) 式就是我們所熟悉的等式
$P(E) = \displaystyle\sum_{i=1}^n P(E\vert F_i) P(F_i)$
其中, $F_1,\ldots,F_n$ 為聯集是樣本空間的互斥事件.

Example
設 X 和 Y 為獨立的連續隨機變數. 求 X+Y 的分布.
Solution:
以 Y 的值為條件, 得
$\begin{array}{rcl} P\{ X+Y< a\}&=&\displaystyle\int_{-\infty}^\infty P\{X+Y\leq... ...nfty}^\infty F_X (a-y) f_Y (y) dy \qquad\rule[0.02em]{1.0mm}{1.5mm} \end{array}$