Problem　II

Example (A random Walk in the Plane)
平面上的 隨機漫步 (random walk). 考慮一質點剛開始時是在平面上某一定點, 假設它歷經一系列定'長的步程, 但方向是完全隨機的. 特別地, 假設每步之後的新位置與前一位置的距離為 1 各單位長, 且與前一位置之方向角在區間 $(0,2\pi )$ 上均勻分布 (如圖所示). 試求 n 步之後與原點之距離平方的期望值.

Solution:
令 (Xi, Yi) 表示在第 i 步的位置變化量 (以直角坐標表示), $i=1,2,\ldots,n$. 則我們有 $ X_i = \cos \theta _i$, $\quad Y_i = \sin \theta _i$其中 $\theta _i,i=1,2,\ldots,n$. 根據假設為獨立且在 $(0,2\pi )$上的均勻分布的隨機變數. 因 n 步後之位置的直角坐標為 $\left (\displaystyle\sum_{i=1}^n X_i,\sum_{i=1}^n Y_i \right )$, 故知從原點到該位置之距離的平方 D2 為
$\begin{array}{rcl} D^2&=&\displaystyle\left (\sum_{i=1}^nX_i\right )^2\left (\s... ...0.5cm}i\neq j}(\cos\theta_i\cos\theta_j+ \sin\theta_i\sin\theta _j) \end{array}$
其中我們用了 $ \cos ^2 \theta _i + \sin ^2 \theta _i =1 $ 的結果. 當然 $ i \neq j $時, $\theta _i $ 和 $\theta _j$ 為獨立隨機變數, 又
$\begin{array}{rcl} E[\cos\theta_i]&=&\displaystyle\int_0^{2\pi}\cos udu=\sin 2\... ...in\theta_i]&=&\displaystyle\int_0^{2\pi}\sin udu=\cos 0-\cos 2\pi=0 \end{array}$
因此對上式之兩邊取期望值得 $E[D^2]= n \qquad\rule[0.02em]{1.0mm}{1.5mm}$