Proposition

有關二維的隨機變數之函數的期望值, 我們假設 X 和 Y 為隨機變數, g 為一兩 個變數的函數, 則我們有下面的結果.

Proposition
若 X 和 Y 的聯合機率質量函數為 p(x,y), 則

$E[g(X,Y)] = \displaystyle\sum_y \sum_x g(x,y)p(x,y)$
若 X 和 Y 的聯合機率密度函數為 f(x,y), 則
$E[g(x,y)]=\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty g(x,y)f(x,y)dxdy$

Example
意外發生的地點 X 均勻分布在一長為 L 的路上. 意外發生的時候, 救護車所在的位置 Y 也是均勻分布在該路上. 假設 X 和 Y 為獨立隨機變數, 試求救護車與意外地點間的期望距離.
Solution:
我們欲求 E[| X-Y |]. 因為 X 和 Y 的聯合密度函數為
$ f(x,y) = \displaystyle\frac{1}{L^2}, 0 < x < L, 0 < y < L $
由上面的 Proposition 得
$ E[\vert X-Y \vert] = \displaystyle\frac{1}{L^2} \int_0^L \int_0^L \vert x-y\vert dy dx$
由
$\begin{array}{rcl} \displaystyle\int_0^L \vert x-y\vert dy & = & \displaystyle... ...x^2}{2} - x(L-x) \\ \\ & = & \displaystyle\frac{L^2}{2} + x^2 - xL \end{array}$
所以
$\begin{array}{rcl} E[\vert X-Y \vert]&=&\displaystyle\frac{1}{L^2}\int_0^L\left (\frac{L^2}{2}+x^2-xL\right )dx\\ \\ &=&\displaystyle\frac{L}{3} \end{array}$

關於上面的 Proposition 的一個重要應用, 我們假設 E[X] 和 E[Y] 都是有限且令 g(X,Y) = X+Y. 則在連續的情形我們得到

$ \begin{array}{rcl} E[X+Y]&=&\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\... ... xf_x (x) dx+\int_{-\infty}^\infty yf_Y(y)dy \\ \\ &=& E[X] + E[Y] \end{array}$
在一般的情形下, 也可得到同樣的結果; 因此, 當 E[X] 和 E[Y] 為有限時, E[X+Y] = E[X] + E[Y]

And, using a simple induction proof shows that if E[Xi] is finite for all $i=1,\ldots,n$ then

$E[X_1+\cdots+X_n]=E[X_1]+\cdots+E[X_n]$
is an extremely useful formula whose utility will now be illustrated by a series of examples.