Example of Order Statistics

Example
設有三個人 "隨機分布" 在一英哩長的路上. 試求任二人間的距離都不小於 d 的機率, 其中 $d \leq \displaystyle\frac{1}{2} $.
Solution:
讓我們假設 "隨機分布" 的意思是指此三人的位置為獨立且在該路上均勻分布的隨機變數. 令 Xi 表第 i 人的位置, 則所求的機率為 $P\{ X_{(i)}>X_{(i-1)}+d,i=2,3\}$, 因
$f_{x_{(1)},x_{(2)},x_{(3)}}(x_1,x_2,x_3)=3!\qquad 0 < x_1 < x_2 < x_3 < 1$
故得
$\begin{array}{l} P\{X_{(i)} > X_{(i-1)} + d, i=2,3 \} \\ \\ =\displaystyle\int... ... \\ \\ =3\displaystyle\int_0^{1-2d} y_1 ^2 \ dy_1 \\ \\ =(1-2d)^3 \end{array}$
因此, 當 3 人是均勻且獨立地分布於長度為 1 的區間上時, 任二人間的距離不小於 d的機率為 $(1-2d)^3,\quad d \leq \displaystyle\frac{1}{2}$. 事實上, 同樣的方法可用來證明當 n 個人隨機分布在單位長度的區間上時, 任兩人間的距離都不小於 d 的機率為
$[1-(n-1)d]^n,\qquad\mbox{ when } d\leq\displaystyle\frac{1}{n-1}\qquad\rule[0.02em]{1.0mm}{1.5mm}$.

Example
假設觀測 n 個獨立且具有相同分布的隨機變數 $X_1,X_2,\ldots ,X_n$. 亦即, 假設 $X_1,X_2,\ldots ,X_n$ 為一組 隨機樣本 (random sample). 隨機變數 R = X(n) - X(1) 稱為此隨機樣本的 全距(range). 若隨機變數 Xi 的分布函數為 F, 密度函數為 f, 則對 $a \geq 0$,
$\begin{array}{l} P\{R \leq a\} \\ \\ = P\{X_{(n)} - X_{(1)} \leq a \} \\ \\ =... ...yle\frac{n!}{(n-2)!} [ F(x_n) - F (x_1) ]^{n-2}f(x_1)f(x_n)dx_ndx_1 \end{array}$

利用上式結果, 作變數變換 y = F(xn) - F(x1), dy = f(xn) dxn, 得

$\begin{array}{l} \displaystyle\int_{x_1}^{x_1+a} [ F(x_n) - F(x_1) ]^{n-2} f(x_... ...} dy \\ \\ =\displaystyle\frac{1}{n-1} [F(x_1+a) - F(x_1) ] ^{n-1} \end{array}$
故得
$ P\{ R \leq a \} = n \displaystyle\int_{-\infty}^\infty [F(x_1+a) - F(x_1) ]^{n-1} f(x_1) dx_1 \qquad (6.7)$
上式僅在少數的情況下, 才能被計算出來. 其中的一種情況就是當所有的 Xi 都是在 (0,1) 上均勻分布時. 在此情況下, 由上式得: 對 0<a<1,
$\begin{array}{rcl} P\{R\leq a\}&=&n\displaystyle\int_0^1 [F(x_1 + a) - F(x_1) ]... ...+ n \int_{1-a}^1 (1-x_1)^{n-1} dx_1 \\ \\ &=& n (1-a)a^{n-1} + a^n \end{array}$

又在此情況下, 微分得全距的密度函數為

$f_R (a) = \left \{ \begin{array}{ll} n(n-1)a^{n-2} (1-a) & \qquad 0 \leq a \leq... ... \qquad \mbox{ otherwise }\qquad\rule[0.02em]{1.0mm}{1.5mm} \end{array}\right .$