Order Statistics

設 $X_1, X_2,\ldots , X_n $ 為 n 個獨立且具有相同分布的連續隨機變數, 其共同的密度函數為 f, 共同的密度函數為 F.

Definition

$\begin{array}{rcl} X_{(1)} & = & \mbox{ smallest of } X_1,X_2,\ldots ,X_n \\ X... ... &\vdots& \\ X_{(n)} & = & \mbox{ largest of } X_1,X_2,...,X_n \\ \end{array}$
則有序變數 $X_{(1)} \leq X_{(2)} \leq\cdots\leq X_{(n)}$ 稱為對應於隨機變數 $X_1, X_2,\ldots , X_n $ 的 順序統計量 (order statistics). 換句話說, $ X_{(1)}, X_{(2)},\ldots , X_{(n)} $ 為 $X_1, X_2,\ldots , X_n $ 的順序值.

順序統計量的聯合密度函數可求之如下: 順序統計量 $ X_{(1)}, X_{(2)},\ldots , X_{(n)} $所取的值為 $X_1 \leq X_2 \leq\ldots X_n $ 的充要條件為對 $(1,2,\ldots ,n)$的某一排列 $(i_1, i_2,\ldots ,i_n )$,

$X_1 = x_{i_1}, X_2 = x_{i_2},\ldots , X_n=x_{i_n}$
因為, 對 $(1,2,\ldots ,n)$ 的任一排列 $(i_1, i_2,\ldots ,i_n )$
$\begin{array}{l} P \left \{ x_{i1} - \displaystyle\frac{\varepsilon }{2} < X_1 ... ...x_{i1})\cdots f(x_{in}) \\ \\ = \varepsilon ^n f(x_1)\cdots f(x_n) \end{array}$
故得, 對 $x_1 < x_2 < \cdots < x_n $
$\begin{array}{l} P\left\{ X_1-\displaystyle\frac{\varepsilon}{2}<X_{(1)}< x_1+ ... ...lon}{2}\right\} \\ \\ \approx n! \varepsilon^n f(x_1)\cdots f(x_n) \end{array}$
將上式兩端除以 $\varepsilon^n$ 且令 $\varepsilon\rightarrow 0$ 得
$\begin{array}{l} f_{X_{(1)},\ldots ,X_{(n)}}(x_1,\ldots,x_n) \\ \\ =n!f(x_1)\cdots f(x_n),\qquad x_1< x_2 <\cdots < x_n \end{array}$
上式的最簡單的解釋如下: 為了使向量 $\left < X_{(1)},\ldots , X_{(n)}\right >$的值為 $\left < x_1, ... ,x_n \right >$, 其充分必要條件是 $\left < X_1,\ldots ,X_n \right >$ 等於 $\left < x_1,\ldots ,x_n\right >$的 n! 種排列中的一種. 又因為 $\left < X_1,\ldots ,X_n \right >$ 等於 $\left < x_1,\ldots ,x_n\right >$ 的任一排列的機率密度為 $f(x_1)\cdots f(x_n)$, 故得上式.