Family of Distribution

伽馬隨機變數的密度函數為

$ f(y) = \displaystyle\frac{\lambda e^{-\lambda y} (\lambda y)^{t-1} } {\Gamma (t) } \qquad 0 < y < \infty $
此分布族 (family of distribution) 的一個重要性質為對一固定的 $\lambda $ 值, 在褶積的運算下具有封閉性.

Proposition
設 X 和 Y 為參數分別是 $(s, \lambda)$ 和 $(t, \lambda) $的獨立的伽馬隨機變數, 則 X + Y 為參數是 $(s+t, \lambda )$ 的伽馬隨機變數.
Proof:

$\begin{array}{rcl} f_{X+Y}(a)&=&\displaystyle\frac{1}{\Gamma (s) \Gamma (t) } \... ...ing } x= \frac{y}{a} \\ \\ & = & C e^{-\lambda a} a^{s+t-1} \\ \\ \end{array}$
其中 C 為一常數且與 a 無關. 但因上式為一密度函數, 其積分必為 1, 故可求出 C 值, 所以得
$f_{X+Y}(a)=\displaystyle\frac{\lambda e^{-\lambda a}(\lambda a)^{s+t-1}}{\Gamma(s+t)} \qquad\rule[0.02em]{1.0mm}{1.5mm}$


利用上面的 Proposition 和數學歸納法很容易可將其結果推廣到 n個獨立伽馬隨機變數的和. 亦即, 設 $X_i, i=1,2,\ldots ,n$ 為 n個獨立的伽馬隨機變數, 其猜參數分別為 $ (t_i, \lambda ), i=1,2,\ldots ,n $, 則 $ \displaystyle\sum_{i=1}^n X_i $ 為參數是 $ \left ( \displaystyle\sum_{i=1}^n t_i, \lambda \right ) $的伽馬隨機變數.