Characterization of the Normal Distribution

Example (Characterization of the Normal Distribution
令 X 和 Y 分別表示彈著點與靶心的水平和垂直距離, 且有
假設 1. X 和 Y 為獨立連續隨機變 數, 且都具有可微分的密度函數.
假設 2. X 和 Y 的聯合密度函數 f(x,y)=fX(x)fY(y) 為 x2+y2的函數.
粗略地說, 假設 2 說明子彈落在 x-y平面上任一點的機率僅和彈著點與靶心的距離有關, 而與它的旋轉角度無關, 換句話說, 假設 2 說明聯合密度函數為 旋轉不變量 (rotation invariant ).

一個十分有趣的結果是由假設 1 和 2 可以得到 X 和 Y 為常態分布隨機變數. 欲 證此結果, 首先我們注意到由假設可得

$ f(x,y) = f_X(x) F_Y(y) = g(x^2+y^2) \qquad (2.9)$
其中 g 為一函數. 將 (2.9) 式對 x 微分得
$ f^{'}_X (x) f_Y (y) = 2xg^{'} (x^2+y^2) \qquad (2.10)$
(2.10) 式除以 (2.9) 式得
$\displaystyle\frac{f^{{'}}_X(x)}{f_X(x)} = \frac{2xg^{'}(x^2+y^2) }{g(x^2+y^2) }$
即
$\displaystyle\frac{f^{'}_X (x) }{2 x f_X (x) }=\frac{g^{'}(x^2+y^2)}{g(x^2+y^2)} \qquad (2.11)$

因為 (2.11) 式左邊的值僅和 x 有關, 而右邊的值是依 x2+y2 的值而定, 故得左邊的值對所有 x 而言都是一樣的. 欲證此結果, 我們考慮任意的 x1和 x2, 且令 y1 和 y2 滿足 x1 2 + y1 2, 則得

$\begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{f^{'}_x(x_1)}{2x_1f_x(x_1)}&=& \displayst... ...2+y_2^2)}{g(x_2^2+y_2^2)}= \frac{f^{'}_X (x_2) } { 2x_2 f_X (x_2) } \end{array}$
因此
$\displaystyle\frac{f^{'}_X(x)}{xf_x(x)}=c$ 或 $\displaystyle\frac{d}{dx}(\log f_X(x))=cx$
對兩邊積分得
$\displaystyle\log f_X(x) = a + \frac{cx^2}{2} $ 或 fX (x) = kecx2/2

因 $ \displaystyle\int_{-\infty}^\infty f_X(x) = 1 $, 故知 c 必為負值, 所以可將 c 寫成 $ c = -1 / \sigma ^2 $. 因此 $ f_X (x) = ke^{-x^2/(2\sigma ^2) } $ 也就是說, X 為參數是 $\mu =0 $ 和 $\sigma ^2$ 的常態隨機變數. 同樣的方法也可 應用到 fY (y) 而得

$f_Y(y)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}\overline{\sigma}} e^{-y^2/(2\overline{\sigma}^2)}$
又由假設 2 可得 $\sigma ^2 = \overline{\sigma } ^ 2 $, 因而 X 和 Y 為獨立 且具有同樣分布的常態隨機變數, 其參數為 $\mu =0 $ 和 $\sigma ^2$.