Joint Distribution Functions

若存在一個定義在平面上的函數 $f(x,y) \geq 0$ 且對每一實數序對的集合 C(也就是說, C 是平面上的一個集合),

$P\{(X,Y)\in C\}=\displaystyle\int\int\limits_{\hspace{-0.5cm}(x,y)\in C} f(x,y)dxdy$
則稱 X 和 Y 為 聯合連續(jointly continuous)隨機變數, 函數 f(x,y)稱為 X 和 Y 的 聯合機率密度函數(joint probability density function). 設 A 和 B 為兩個任意的實數集合, 若定義 $C=\{(x,y):x\in A,y\in B\}$, 則由上式得
$P\{ X\in A,Y\in B\}=\displaystyle\int_B\int_A f(x,y)dxdy$
因
$\begin{array}{rcl} F(a,b)&=&P\{ X \in (-\infty, a ], Y \in (-\infty, b]\}\\ \\ &=&\displaystyle\int_{-\infty}^b \int_{-\infty}^a f(x,y)dxdy\\ \\ \end{array}$
故當 F 的二階偏導數存在時, 經由微分得 $ f(a,b) = \displaystyle\frac{\partial ^2}{\partial a \partial b} F(a,b)$

聯合密度函數的另一種解釋可由 (1.4) 式得之如下: 當 da 和 db 均很小且 f(x,y) 在點 (a,b) 連續時,

$\begin{array}{l} P\{a<X< a+da,\ b<Y<b+db\} \\ \\ =\displaystyle\int_b^{b+db}\int_a^{a+da}f(x,y)dxdy \\ \\ \approx f(a,b) da db \end{array}$
因此, f(a,b) 是用來測度隨機向量 (X,Y) 將會在點 (a,b) 附近的可能性的.

若 X 和 Y 為聯合隨機變數, 則 X 和 Y 均為連續隨機變數, 且它們的機率 密度函數可得之如下:

$\begin{array}{rcl} P\{ X \in A \} & = & P\{ X \in A, Y \in (-\infty, \infty ) \... ...y}^\infty f(x,y) dy dx \\ \\ & = & \displaystyle\int_A f_x (x) dx \end{array}$
因此其中的 $ f_x (x) = \displaystyle\int_{-\infty}^\infty f(x,y)dy $就是 X 的機率密度函數. 同理, Y 的機率密度函數為 $ f_Y (y) = \displaystyle\int_{-\infty}^\infty f(x,y) dx $