Example

Example
設袋中有 3 個紅球, 4 個白球, 5 個藍球. 自袋中隨!機取出 3 個球. 若分別以 X 和 Y 表示取出的紅球和白球的個數, 則 X 和 Y 的聯合機率質量函數 $p(i,j) = P\{X=i, Y=j\} $ 如下:
$p(0,0)=\displaystyle{5\choose 3}\Big / {12\choose 3}=\frac{10}{220}$
$p(0,1)=\displaystyle{4\choose 1}{5\choose 2}\Big / {12\choose 3}=\frac{40}{220}$
$p(0,2)=\displaystyle{4\choose 2}{5\choose 1}\Big / {12\choose 3}=\frac{30}{220}$
$p(0,3)=\displaystyle{4\choose 3}\Big / {12\choose 3}=\frac{4}{220} $
$p(1,0)=\displaystyle{3\choose 1}{5\choose 2}\Big / {12\choose 3}=\frac{30}{220}$
$p(1,1)=\displaystyle{3\choose 1}{4\choose 1}{5\choose 1}\Big / {12\choose 3}=\frac{60}{220}$
$p(1,2)=\displaystyle{3\choose 1}{4\choose 2}\Big / {12\choose 3}=\frac{18}{220}$
$p(2,0)=\displaystyle{3\choose 2}{5\choose 1}\Big / {12\choose 3}=\frac{15}{220}$
$p(2,1)=\displaystyle{3\choose 2}{4\choose 1}\Big / {12\choose 3}=\frac{12}{220}$
$p(3,0)=\displaystyle{3\choose 3}\Big / {12\choose 3}=\frac{1}{220}$

這些機率可以很容易地利用下表的型式表示.

$P\{X=i, Y=j\}$
$\begin{array}{cc\vert cccc\vert c} \hline &j&&&&&\mobx{Row Sum} \\ i&&0&1&2&3&... ...displaystyle\frac{48}{220}&\displaystyle\frac{4}{220}& \\ \\ \hline \end{array}$

在這兒 X 的機率質量函數可經由計算列的和求得, 而 Y的機率質量函數則可經由計算行的和求得. 就因為 X 和 Y的個別的機率質量函數出現在這種表格的邊上, 所以它們經常被分別稱之為 X 和 Y 的 邊際機率質量函數 (marginal probability mass function).         $\qed$