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The Distribution of a Function of a Random Variable

通常的情況是我們知道一隨機變數的機率分布, 而我們有興趣的是要決定它的某些函數的分布. 例如, 假設我們知道 X 的分布, 而要求 g(X) 的分布. 欲得此結果, 必需以 X 在某一集合中的形式來表示事件 $g(X) \leq y$ . 我們以下面的例子來說明.

Example: 設 X 在區間 (0,1) 上均分分布. 令 Y = Xⁿ, 則 Y 的分布函數可求之如下: 對 $0 \leq y \leq 1$ ,
$\begin{array}{rcl} F_y (y) & = & P\{Y \leq y\} \\ \\ & = & P \{ X^n \leq y \} ... ...1/n} \} \\ \\ & = & F_x \{ y^{1/n} \} \\ \\ & = & y^{1/n} \\ \\ \end{array}$
因此, Y 的密度函數為
$f_y (y) = \left \{ \begin{array}{ll} \displaystyle\frac{1}{n} y^{1/n-1} & \qq... ... \qquad \mbox{otherwise} \qquad\rule[0.02em]{1.0mm}{1.5mm} \end{array} \right .$

Example: 設 X 為一連續隨機變數, 其機率密度函數為 f_x, 則 Y= X²的分布函數可求之如下 : 對 $y \geq 0$
$\begin{array}{rcl} F_y (y) & = & P\{ Y \leq y \} \\ \\ & = & P\{ X^2 \leq y \}... ...\sqrt{y} \} \\ \\ & = & F_x (\sqrt{y} ) -F_x (- \sqrt{y} ) \\ \\ \end{array}$
微分得
$f_y(y)=\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{y}}[f_x(\sqrt{y})+f_x(-\sqrt{y})]\qquad\rule[0.02em]{1.0mm}{1.5mm}$

Example: 設 X 的機率密度函數為 f_x, 則 Y = |X| 的密度函數可得之如下: 對 $y \geq 0$ ,
$\begin{array}{rcl} F_Y (y) & = & P\{ Y \leq y \} \\ \\ & = & P\{\vert X\vert \leq y \} \\ \\ & = & F_x (y) -F_x (-y) \\ \\ \end{array}$
因此, 微分得
$f_y (y) = f_x (y) + f_x (-y) \qquad y \geq 0 \qquad\rule[0.02em]{1.0mm}{1.5mm}$

Theorem
設 X 為一連續隨機變數, 其機率密度函數為 f_x. 設 g(x) 是 x 的嚴格單調 (遞增或遞減) 可微分 (因而連續) 函數. 則隨機變數 Y = g(X) 有如下的機率密度函數:

$f_Y (y) = \left \{ \begin{array}{ll} f_x [ g^{-1} (y) ] \Big \vert \displayst... ...x\\ \\ 0 & \qquad \mbox{ if } y\neq g(x) \mbox{ for all } \end{array} \right .$

其中 g^-1 (y) 定義為滿足 g(x) = y 的 x 值.

Example: Let X be a continuous nonegative random variable with density function f, and let Y=Xⁿ. Find f_Y, the probability density function of Y.
Solution:: If g(x)=xⁿ, then g^-1(y)=y^1/n and $\displaystyle\frac{d}{dy}\{g^{-1}(y)\}=\frac{1}{n}y^{1/n-1}$ .
Hence, from up Theorem, we obtain that
$f_Y(y)=\displaystyle\frac{1}{n}y^{1/n-1}f(y^{1/n})$
If n=1 this gives $f_Y(y)=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle2\sqrt{y}}f(\sqrt{y})\qquad\rule[0.02em]{1.0mm}{1.5mm}$