Exponential Random Variables

設 X 為一連續隨機變數, 若其機率密度函數為

$ f(x) = \left \{ \begin{array}{ll} \lambda e^{-\lambda x} & \qquad \mbox{ if } x \geq 0 \\ \\ 0 & \qquad \mbox{ if } x < 0 \end{array} \right .$
其中 $\lambda > 0 $ 為一常數, 則稱 X 為參數是 $\lambda $ 的指數隨機變數 (exponential random variable). 指數隨機變數的累積分布函數為
$\begin{array}{rcl} F(a) & = & P\{X \leq a \} \\ \\ & = & \displaystyle\int_0^a... ...x} \Big \vert _0^a \\ \\ & = & 1 - e^{-\lambda a} \qquad a \geq 0 \end{array} $
注意到 $F(\infty ) = \displaystyle\int_0^\infty \lambda e^{-\lambda x} dx = 1 $.

Example
設 X 為參數是 $\lambda $ 的指數隨機變數. 求 (a) E[X], 和 (b) Var(X)
Solution:
(a)
因為密度函數為
$ f(x) = \left \{ \begin{array}{ll} \lambda e^{-\lambda x} & \qquad x \geq 0 \\ 0 & \qquad x < 0 \end{array} \right .$
所以, $E[X] = \displaystyle\int_0^\infty x\lambda e^{-\lambda x}dx $利用部分積分 $(\lambda e^{-\lambda x}\ dx = dv, u=x )$ 得
$\begin{array}{rcl} E[X]&=&\displaystyle-xe^{-\lambda x}\Big \vert _0^\infty+\in... ...\vert _0^\infty \\ \\ & = & \displaystyle\frac{1}{\lambda } \\ \\ \end{array}$
(b)
欲得 X 的變異數, 我們先求 E[X2]
$E[X^2] =\displaystyle\int_0^\infty x^2 \lambda e^{-\lambda x}dx $
利用部分積分 $(\lambda e^{-\lambda x} dx = dv, u = x^2) $ 得
$\begin{array}{rcl} E[X^2]&=&\displaystyle-x^2e^{-\lambda x}\Big \vert _0^\infty... ...c{2}{\lambda } E[X] \\ \\ & = & \displaystyle\frac{2}{\lambda ^ 2} \end{array}$
因此,
$Var(X) = \displaystyle\frac{2}{\lambda ^2} - \left ( \frac{1}{\lambda } \right )^2 = \frac{1}{\lambda ^2} \qquad\rule[0.02em]{1.0mm}{1.5mm}$

Example
假設一通電話的通話時間 (單位:分鐘) 為參數是 $\lambda = \displaystyle\frac{1}{10}$的指數隨機變數. 若某人正好在你之前到達公共電話亭, 求 (a) 你必須等 10 分鐘以上的機率為多少? (b) 你必須等 10 到 20 分鐘的機率為多少 ?
Solution:
令 X 表示在電話亭內的人的通話的時間, 則所求的機率分別為:
(a)
$P\{X > 10 \} = \displaystyle\int_{10}^\infty \frac{1}{10} e^{-x/10}dx= -e^{-x/10} \Big \vert _{10}^\infty = e^{-1} \approx 0.368$
(b)
$\begin{array}{rcl} P\{10 < X < 20 \}&=&\displaystyle\int_{10}^{20} \frac{1}{10}... ...} - e^{-2} \\ \\ &\approx& 0.233 \qquad\rule[0.02em]{1.0mm}{1.5mm} \end{array}$