Example

Example
設 X 為參數是 $\mu$ 和 $\sigma^2$ 的常態隨機變數, 求 (a) E[X], 和 (b) Var(X).
Solution:
(a)
$E[X]= \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma } \int_{-\infty}^\infty x*e^{-(x-\mu )^2/(2\sigma )^2}\ dx $

將 x 寫成 $(x-\mu ) + \mu $ 得

$\begin{array}{rcl} E[X]&=&\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty... ...gma } \int_{-\infty}^\infty e^{-(x-\mu )^2/(2 \sigma ^2) }dx \\ \\ \end{array}$

在第一個積分中, 令$y=x-\mu $ 得

$E[X] = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma } \int_{-\infty}^\infty ye^{ -y^2/(2\sigma ^2)} dy + \mu \int_{-\infty}^\infty f(x)d(x) $
其中 f(x) 為常態密度函數. 由對稱性得第一個積分必為 0, 所以
$ E[X] = \mu \displaystyle\int_{-\infty}^\infty f(x)d(x)=\mu $

(b)
因為 $E[X]=\mu$, 故有

$\begin{array}{rcl} Var(X)&=&E[(X-\mu )^2]\\ \\ &=&\displaystyle\frac{1}{\sqrt{... ...int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^2e^{-(x-\mu )^2/(2\sigma ^2)}dx \\ \\ \end{array}$

在上式中, 令 $y= (x- \mu )/\sigma $ 得

$\begin{array}{rcl} Var(X)&=& \displaystyle\frac{\sigma ^2}{\sqrt{2\pi} } \int_{... ...^2/2 }dy \\ \\ &=&\sigma^2 \qquad\rule[0.02em]{1.0mm}{1.5mm}\\ \\ \end{array}$