Expectation and Variance of Continuous Random Variables

在第四章中, 我們定義離散隨機變數的期望值為 $E[X]=\displaystyle\sum_x xP\{X=x\}$若 X 為連續隨機變數, 其機率密度函數為 f(x), 則因 $f(x)dx \approx P\{x \leq X \leq x+dx \}$ 其中 dx 很小, 很容易看出類似的定義方式是將 X 的期望值定義為 $ E[X] = \displaystyle\int_{- \infty}^{\infty } xf(x)dx $

Example
設 X 的密度函數為
$ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 2x & \qquad 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & \qquad \mbox{ otherwise } \end{array} \right .$
求 E[X].
Solution:
$E[X]=\displaystyle\int xf(x)dx=\int_0^1 2x^2dx=\frac{2}{3}\qquad\rule[0.02em]{1.0mm}{1.5mm}$

Example
設 X 的密度函數為
$ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 2x & \qquad 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & \qquad \mbox{其他} \\ \end{array} \right. $
求 E[ex].
Solution:
令 Y=ex. 我們先求 Y 的機率分布函數 Fy. 對 $ 1 \leq x \leq e $,
$\begin{array}{rcl} F_y(x) & = & P\{Y \leq x\} \\ \\ & = & P\{e^x \leq x \} \\ ... ... \\ & = & \displaystyle\int_0^{\log x} f(y)dy \\ \\ & = & \log x \end{array}$
將 Fy(x) 微分, 得 Y 的機率密度函數 fy(.) 如下:
$ f_y(x) = \displaystyle\frac{1}{x} \quad, \qquad 1 \leq x \leq e $

因此,

$\begin{array}{rcl} E[e^x] = E[Y] &=& \displaystyle\int_{- \infty}^{\infty } xf_... ...{1}^{e} dx \\ \\ & = & e -1\qquad\rule[0.02em]{1.0mm}{1.5mm}\\ \\ \end{array}$