The Negative Binomial Random Variable

假設進行一序列的獨立試驗直到累積 r 次成功才停止, 其中每次試驗成功的機率均為 p,0<p<1. 若令 X 表示所需試驗的次數, 則

$P\{X=n\}={n-1\choose r-1}p^r(1-p)^{n-r}\qquad n=r,r+1,\ldots$
為了使第 r 次成功在第 n 次試驗時發生, 必須在首 n-1 次試驗中有 r-1次成功, 且第 n 次試驗必須是成功. 第一個事件的機率為
${n-1 \choose r-1}p^{r-1}(1-p)^{n-r}$
因此, 由獨立性得證上式.

欲證明最後一定會累積 r 次成功, 我們可用解析的方法證明

$\displaystyle\sum_{n=r}^\infty P\{X=n\}=\sum_{n=r}^\infty{n-1\choose r-1} p^r(1-p)^{n-r}=1$

設 X 為一隨機變數, 若其機率質量函數為

$P\{X=n\}={n-1\choose r-1}p^r(1-p)^{n-r}\qquad n=r,r+1,\ldots$
則稱 X 為參數是 (n,p) 的 負二項隨機變數(negative binomial random variable). 所以, 幾何隨機變數就是參數為 (1,p) 的負二項隨機變數.

Example
求參數是 r 和 p 的負二項隨機變數的期望值和變異數.
Solution:
$\begin{array}{rcl} E[X^k]&=&\displaystyle\sum_{n=r}^\infty n^k{n-1\choose r-1}p... ...\mbox{ Let } m=n+1 \\ \\ &=&\displaystyle\frac{r}{p}E[(Y-1)^{k-1}] \end{array}$

其中 Y 為參數是 (r+1,p) 的負二項隨機變數. 在上式中令 k=1 得 $E[X] = \displaystyle\frac{r}{p}$令 k=2, 且利用剛剛得到的期望值, 得 $E[X^2]=\displaystyle\frac{r}{p}E[Y-1]=\frac{r}{p}\left (\frac{r+1}{p}-1\right )$故得 $Var(X)=\displaystyle\frac{r}{p}\left (\frac{r+1}{p}-1\right )-\left (\frac{r}{p} \right )^2=\frac{r(1-p)}{p^2}\qquad\rule[0.02em]{1.0mm}{1.5mm}$

Example (The Banach Match Problem)
一抽煙斗的數學家在任何時間總是帶著 2 盒火柴, 其中一盒放在左邊的袋子, 另一盒放在右邊的袋子. 每次需要火柴時, 從左右口袋取出火柴盒的機會是相等的. 假設開始時每個火柴盒中各有 N 根火柴. 試求當此數學家第一次發現其中一個火柴盒是空的那一刻, 另一個火柴盒中恰有 k 根火柴的機率為多少?
Solution:
令 E 表示此數學家第一次發現右邊口袋的火柴盒是空的時候, 左邊口袋的火柴盒內恰有 k 根火柴的事件. 又此事件會發生的充要條件是第 N+1次選取右邊火柴盒是在 N+1+N-k 次試驗時, 因此, 由最上面的例子 (其中 $p=\displaystyle\frac{1}{2}, r=N+1, n=2N-k+1$)得
$\displaystyle P(E)={2N-k\choose N}\left (\frac{1}{2}\right )^{2N-k+1}$

因為第一次發現左邊口袋的火柴盒是空的時候, 右邊口袋的火柴盒恰有 k根火柴的機率和上面的結果是一樣的, 故得所求的機率為

$\displaystyle2P(E)={2N-k\choose N}\left (\frac{1}{2} \right )^{2N-k}\qquad\rule[0.02em]{1.0mm}{1.5mm}$