The Poisson Random Variable

設 X 為一隨機變數, 其所有可能值為 $0,1,2,\ldots$, 若對某一 $\lambda >0$,

$p(i)=P\{X=i\}=e^{-\lambda}\displaystyle\frac{\lambda^i}{i!}\qquad i=0,1,2,\ldots$
則稱 X 為參數是 $\lambda$ 的卜瓦松隨機變數 (Poisson random variable).

因此 probability mass function 為,

$\displaystyle\sum_{i=0}^\infty p(i)=e^{-\lambda}\sum_{i=0}^\infty\frac{\lambda^i}{i!} =e^{-\lambda}e^{\lambda}=1$

因為卜瓦松隨機變數可以作為參數是 (n,p) 之二項隨機變數在 n 很大, p很小且 np 適度大小之情況下的近似值, 所以其應用的範圍相當的廣泛. 欲知此近似的情況, 我們設 X 為參數是 (n,p) 的二項隨機變數, 且令 $\lambda =np$. 則

$\begin{array}{rcl} P\{X=i\}&=&\displaystyle\frac{n!}{(n-i)!i!}p^i(1-p)^{n-i}\\ ... ...rac{\lambda ^i}{i!} \frac{(1-\lambda /n)^n}{(1-\lambda /n)^i}\\ \\ \end{array}$

對 n 很大, $\lambda$適度大小時, 則
         $\left (1 - \displaystyle\frac{\lambda }{n} \right ) \approx e^{-\lambda }$         $\displaystyle\frac{n(n-1)...(n-i+1)}{n^i} \approx 1$         $\left (1- \displaystyle\frac{\lambda}{n} \right )^i \approx 1 $

因此, 當 n 很大且 $\lambda$ 適度大小時, $P\{X=i\}\approx e^{-\lambda}\frac{\lambda^i}{i!}$

Example
下面的例子通常都遵守卜瓦松機率法則
1.
書中某頁上誤植之數
2.
某一社區活到 100 歲的人數
3.
一天中撥錯的的電話數
4.
某一天到達郵局的顧客數
5.
放射性物質在某一時間區間內放射出的 $\alpha$ 粒子數          $\rule[0.02em]{1.0mm}{1.5mm}$

Example
設某本書中某頁上排印錯誤的字數為參數是 $\lambda = \displaystyle\frac{1}{2}$的卜瓦松隨機變數. 試求本頁上至少有一個錯誤的機率.
Solution:
令 X 表示本頁上錯誤的字數, 則 $P\{X\geq 1\}=1-P\{X=0\}=1-e^{-\frac{1}{2}}\approx .0393 \qquad\rule[0.02em]{1.0mm}{1.5mm}$

Example
假設某機器所生產之產品為不良品的機率是 0.1. 試求 10 個產品的一組樣本中至多有一不良品的機率.
Solution:
所求機率為 ${10\choose 0}(0.1)^0(0.9)^{10}+{10\choose 1}(0.1)^1(0.9)^9=0.7361$ 而卜瓦松近似得到的值為 $\displaystyle e^{-1}+e^{-1}\approx 0.7358\qquad\rule[0.02em]{1.0mm}{1.5mm}$