Properties of Binomial Random Varables
二項隨機變數的性質
We will now examine the properties of a binomial random variable with
parameters n and p. To begin, let us compute its expected and variance.
And
其中 Y 為參數是 (n-1,p) 的二項隨機變數. 在上式中, 令 k=1, 得 E[X] = np. 也就是說, 在成功機率為 p 之 n 次獨立試驗中, 成功的期望次數為 np. 在上式公式中, 令 k=2 且利用剛得到的二項隨機變數之期望值的公式得
Proposition
由上面的討論可以整理出, 若 X 為一參數是 (n,p) 的二項隨機變數, 則
Proposition
設 X 為一參數是 (n,p) 的二項隨機變數, 其中 0<p<1, 那麼當
k 從 0 增加到 n 時,
先單調遞增(increases monoton-ically),
且當 k 為小於或等於 (n+1)p 的最大整數時,
為最大.
Proof:
考慮
,
且決定當 k 為何值時, 它大於或小於 1.