The Bernoulli and Binomial Random Variables

假設進行一試驗, 其結果可區分為 "成功" 和 "失敗", 若令 X=1表示結果是成功, X=0 表示結果是失敗, 則 X 的機率質量函數為

$\begin{array}{rcccl} p(0)&=&P\{X=0\}&=&1-p \\ p(1)&=&P\{X=1\}&=&p \\ \end{array}$
其中 p 是試驗成功的機率, $0\leq p\leq 1$
當一隨機變數 X 的機率質量函數如上式時, 其中 $p\in (0,1)$, 則稱 X 為 Bernoulli 隨機變數.

現在假設進行 n 次的獨立試驗, 且每次"成功"的機率均為 p , "失敗" 的機率均為 1-p, 若以 X 表示在 n 次試驗中成功的次數, 則稱 X 為參數是 (n,p) 的二項(binomial)隨機變數. 而 Bernouli 隨機變數就是參數為(1,p)的二項隨機變數.

參數為 (n,p) 之二項隨機變數的機率質量函數為

$p(i)=\displaystyle{n\choose i}p^i(1-p)^{n-i}\qquad i=0,1,\ldots ,n$

Proof: 考慮任一含有 i 次成功 , n-i次失敗的序列. 由獨立試驗的假設, 我們知道每一這種序列出現的機率均為 pi(1-p)n-i. 又這種序列共有 ${n \choose i}$ 種, 故上式得證.         $\rule[0.02em]{1.0mm}{1.5mm}$

由二項式定理,我們可得機率的和為 1, 亦即

$\displaystyle\sum_{i=0}^n p(i)=\sum_{i=0}^n{n\choose i}p^i(1-p)^{n-i}=[p+(1-p)]^n=1$