Variance 變異數

Definition
若X 為一隨機變數, 其期望值為 $\mu$, 則 X 的變異數(variance) 以符號 Var(X) 表示, 定義為 $Var(X)=E[(X-\mu)^2]$

另一個公式可導之如下:

$\begin{array}{rcl} Var(X)&=&E[(X-\mu )^2] \\ \\ &=&\displaystyle\sum_x (x-\mu ... ...2\sum_x p(x) \\ \\ &=& E[X^2]-2\mu^2+\mu^2 \\ \\ &=& E[X^2]-\mu^2 \end{array}$

Example
設 X 表示丟一均勻骰子所出現的結果. 試求 Var(X).
Solution:
因 E[X]=3.5 又 $E[X^2]=1^2\displaystyle\,\frac{1}{6}+2^2\,\frac{1}{6}+3^2\,\frac{1}{6}+4^2\,\frac{1}{6}+ 5^2\,\frac{1}{6}+6^2\,\frac{1}{6}=\frac{91}{6}$. 所以, $Var(X)=\displaystyle\frac{91}{6}-(3.5)^2=\frac{35}{12}$         $\rule[0.02em]{1.0mm}{1.5mm}$

另一個有關變異數的恆等式: 對任意常數 a 和 b, Var(aX+b)=a2Var(X)
Proof:
令 $\mu=E[X]$, 所以, $E[aX+b]=aE[X]+b=a\mu+b$, 因此,

$\begin{array}{rcl} Var(aX+b)&=&E[(aX+b-a\mu-b)^2] \\ \\ &=&E[a^2(X-\mu)^2] \\ ... ...(x-\mu)^2p(x) \\ \\ &=&a^2Var(X) \qquad\rule[0.02em]{1.0mm}{1.5mm} \end{array}$

Remark
$SD(X)=\sqrt{Var(X)}$ 代表 X 的標準差