Expectation of a Function of a Random Variable
假設我們有一離散隨機變數 X 及其機率質量函數, 而我們想要計算 X 之函數 g(X) 的期望值, 則因 g(X) 本身也是一個離散隨機變數, 它有自己的機率質 量函數, 而此機率質量函數可由 X 的機率質量函數求得. 一旦決定了 g(X)的機率質量函數, 我們就可以利用期望值的定義來計算 E[g(X)].
Proposition
設 X 為一離散隨機變數 , 且它在每一可能值 xi 的機率為 p(xi), .
若 g 為一實數值函數, 則
Proof:
Proposition
若 a 和 b 都是常數, 則
E[aX+b]=aE[X]+b
Proof:
隨機變數X的期望值 E[X]亦稱為 X 的平均數(mean) 或 X 的一級動差
(first moment). 對
稱為 X 的 n 級動差 (nth moment)
根據上面的 Proposition, 我們可得