Expectation of a Function of a Random Variable

假設我們有一離散隨機變數 X 及其機率質量函數, 而我們想要計算 X 之函數 g(X) 的期望值, 則因 g(X) 本身也是一個離散隨機變數, 它有自己的機率質 量函數, 而此機率質量函數可由 X 的機率質量函數求得. 一旦決定了 g(X)的機率質量函數, 我們就可以利用期望值的定義來計算 E[g(X)].

Example
X 為一隨機變數, 它在每一可能值 -1,0,1 的機率分別為 $P\{X=-1\}=0.2\quad P\{X=0\}=0.5\quad P\{X=1\}=0.3$ 試求 E[X2].
Solution:
Y=X2, 則 Y 的質量函數為
$\begin{array}{rcl}
P\{Y=1\}&=&P\{X=-1\}+P\{X=1\}=0.5 \\
P\{Y=0\}&=&P\{X=0\}=0.5
\end{array}$
因此 $E[X^2]=E[Y]=1\times (0.5)+0\times (0.5)=0.5$          $\rule[0.02em]{1.0mm}{1.5mm}$

Proposition
X 為一離散隨機變數 , 且它在每一可能值 xi 的機率為 p(xi), $i\geq 1$. 若 g 為一實數值函數, 則 $\displaystyle E[g(x)] \ =\ \sum_ig(x_i)p(x_i)$
Proof:
$\begin{array}{rcl}
\qquad \displaystyle\mbox{右式=} \sum_j g(x_i)p(x_i)&=&\sum_...
...
&=&E[g(x)] \ =\mbox{左式} \qquad\rule[0.02em]{1.0mm}{1.5mm}\\ \\
\end{array}$

Proposition
ab 都是常數, 則 E[aX+b]=aE[X]+b
Proof:

$\begin{array}{rcl}
E[aX+b]&=&\displaystyle\sum_{x:p(x)>0}(ax+b)p(x) \\ \\
&=&a...
...x)>0}p(x) \\ \\
&=&aE[X]+b \qquad\rule[0.02em]{1.0mm}{1.5mm}\\ \\
\end{array}$

隨機變數X的期望值 E[X]亦稱為 X 的平均數(mean) 或 X 的一級動差 (first moment). 對 $n\geq 1, E[X^n]$稱為 Xn 級動差 (nth moment) 根據上面的 Proposition, 我們可得 $E[X^n]=\displaystyle\sum_{x:p(x)>0} x^np(x)$