Expected Value 期望值

設 X 為一離散隨機變數, 其機率質量函數為 p(x), 則 X 的期望值 (expectation 或 expected value), 以 E[X] 表示, 定義為 $E[X] =\displaystyle\sum_{x:p(x)>0} xp(x)$也就是說, 一隨機變數 X 的期望值為 X 之所有可能值的加權平均數, 而每一個可能值的權數即為 X 在該值的機率.

Example
若 X 的機率質量函數為 $\displaystyle p(0)=\frac{1}{2}=p(1)$ 則 $E[X]=0\left (\displaystyle\frac{1}{2}\right )+1\left (\frac{1}{2}\right )= \frac{1}{2}$
正好是 X 的兩個可能值 0 和 1 的一般平均數. 另一方面. 若 $p(0)=\displaystyle\frac{1}{3}\qquad p(1)=\frac{2}{3}$ 則 $E[X]=\displaystyle0\left (\frac{1}{3}\right )+1\left (\frac{2}{3}\right )= \frac{2}{3}$
是兩個可能值 0 和 1 的加權平均數, 其中數值 1 的權數是數值 0 的兩倍, 因為 $\displaystyle p(1)=2p(0)$         $\rule[0.02em]{1.0mm}{1.5mm}$.

期望值也可以用機率次數解釋加以說明 , 假設若進行一無窮序列的獨立重覆試驗, 則任意事件 E 發生的次數比例將會是 P(E).

Example
設 X 表示丟一均勻骰子所出現的點數, 試求 E(X).
Solution:
因為 $\displaystyle p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=p(6)=\frac{1}{6}$, 故 $\displaystyle E(X)=1\times\left (\frac{1}{6}\right )+ 2\times\left (\frac{1}{6}... ...\times\left (\frac{1}{6}\right )+ 6\times\left (\frac{1}{6}\right )=\frac{7}{2}$          $\rule[0.02em]{1.0mm}{1.5mm}$

Example
某人參加電視節目中的機智問答競賽. 該機智問答有 1 和 2 兩道題目, 他可以選擇回答的次序. 若他決定先回答問題 i,i=1,2, 則只有在答對的情況下才能繼續回答問題 $j,j\neq i$; 否則就退出競賽. 競賽者答對問題 i 可得 Vi元, i=1,2. 因此, 如果他兩題都答對了, 他將可以得到 V1+V2 元, 假設他答對問題 i 的機率為 Pi,i=1,2; 且假設他答對問題 1 和答對問題 2 的事件為獨立事件. 試問他該如何選擇答題次序, 方有最大期望獎金?
Solution:
(1) 如果先選第 1 題, 得 0 元的機率為 1-P1, 得 V1 元的機率為 P1(1-P2), 得 V1+V2 元的機率為 P1P2. 因此, 他的期望獎金為 V1P1(1-P2)+(V1+V2)P1P2
(2) 若他先選第 2 題, 則他的期望獎金為 V2P2(1-P1)+(V1+V2)P1P2
因此當 (1) 的期望獎金大於 (2) 的期望獎金時, 即
$V_1P_1(1-P_2) + (V_1+V_2)P_1P_2 \geq V_2P_2(1-P_1) + (V_1+V_2)P_1P_2$,
則應先選擇回答問題 1.          $\rule[0.02em]{1.0mm}{1.5mm}$