Discrete Random Variables 離散隨機變數

一隨機變數之所有可能值至多為可數無窮多個時稱之為 離散(discrete) 隨機變數. 對一離散隨機變數 X, 我們定義它的 機率質量函數(probability mass function; p.d.f.) p(a) 為 $p(a)=P\{X=a\}$

至多只有可數無窮多的 a 其機率質量函數 p(a)>0. 也就是說, 若 X 的所有可能值為 $x_1,x_2,\ldots$, 則

$\left\{ \begin{array}{rl} p(x_i)\geq0&\qquad i=1,2,\ldots \\ p(x)=0&\qquad \mbox{all other values of x} \end{array}\right .$
因 X 的值必定是 xi 中的一個, 故有 $\displaystyle\sum_{i=1}^\infty p(x_i)=1$

藉著將 P(xi) 畫於 y 軸而將 xi 置於 x 軸上的圖示方式來表示機率質量函數, 例如, 若 X 的機率質量函數為

$\displaystyle p(0)=\frac{1}{4} \qquad p(1)=\frac{1}{2} \qquad p(2)=\frac{1}{4}$
我們可將此以圖示方式表示, 如圖:

Example
The probability mass function of a random variable X is given by $p(i)=c\lambda^i/i!,i=0,1,2,\ldots$, where $\lambda$ is some positive value. Find (a) $P\{X=0\}$, and (b) $P\{X>2\}$.
Solution:
Since $\displaystyle\sum_{i=0}^\infty p(i)=1$, we have that $\displaystyle c\sum_{i=0}^\infty\frac{\lambda^i}{i!}=1$ implying, because $\displaystyle e^x=\sum_{i=0}^\infty x^i/i!$, that $ce^\lambda=1$ or $c=e^{-\lambda}$
Hence
(a)
$P\{X=0\}=e^{-\lambda}\lambda^0/0!=e^{-\lambda}$
(b)
$\displaystyle P\{X>2\}=1-P\{X\leq 2\}=1-P\{X=0\}-P\{X=1\}-P\{X=2\}=1-e^{-\lambda}- \lambda e^{-\lambda}-\frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2}$          $\rule[0.02em]{1.0mm}{1.5mm}$