Distribution Function 分布函數

隨機變數 X 的累積分布函數 (commulative distribution functionl c.d.f.) 或簡稱 分布函數 (distribution function) F 的定義如下: 對任意實數 b, $-\infty <b<\infty$,

$F(b)=P\{X\leq b\}$

F(b) 表示隨機變數 X 之值小於或等於 b 的機率. 分布函數 F 有如下的一些性質:

1.
F 是非遞減函數; 也就是說, 若 a < b, 則 $F(a) \leq F(b)$
2.
$\displaystyle\lim_{b\rightarrow\infty}F(b)=1$.
3.
$\displaystyle\lim_{b\rightarrow\infty}F(b)=0$.
4.
F 是右連續. 也就是說, 對任意 b 和任意遞減且收斂到 b 的序列 bn, n>1, $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}F(b_n)=F(b)$.

Proof:
1:
因為 a<b, 所以 $\{X\leq a\}$ 包含於 $\{X\leq b\}$ 內,因此 $F(a) \leq F(b)$.
2:
若 bn 遞增到 $\infty$, 則事件 $\{X\leq n_n\},n\geq 1$, 為遞增事件, 其聯集為事件 $\{X<\infty\}$, 故由機率的連續性得 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}P\{X\leq\infty\}=P\{X<\infty\}=1$
3: 證明類 2:
4:
若 bn 遞減到 b, 則 $\{X\leq b_n\},n\geq 1$, 為遞減事件, 其交集為 $\{X\leq b\}$, 故由機率的連續性得 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}P\{X\leq b_n\}=P\{X\leq b\}$         $\rule[0.02em]{1.0mm}{1.5mm}$

Example
對所有 a<b, $P\{a<X\leq b\}=F(b)-F(a)$ $\Rightarrow P\{X\leq b\}=\{X\leq a\}\cup\{a<X\leq b\}$
所以, $P\{X\leq b\}=P\{X\leq a\}+P\{a<X\leq b\}$          $\rule[0.02em]{1.0mm}{1.5mm}$

Example
隨機變數 X 的分布函數為
$F(x)=\left\{ \begin{array}{cl} 0&\quad x\ <\ 0 \\ \\ \displaystyle\frac{x}{2}&... ...laystyle\frac{11}{12}&\quad 2\leq x<3\\ \\ 1&\quad 3\leq x \end{array}\right .$
其圖形如下, 試求 (a)$P\{X<3\}$, (b)$P\{X=1\}$, (c) $P\{X>\frac{1}{2}\}$ 和 (d) $P\{2<X\leq 4\}$.

Solution:
(a) $P\{X<3\}=\displaystyle\lim_n P\{X\leq 3-\frac{1}{n}\}=\lim_n F\left (3-\frac{1}{n} \right )=\frac{11}{12}$
(b) $\displaystyle P\{X=1\}=P\{X\leq 1\}-P\{X<1\}=F(1)-\lim_n F\left (1-\frac{1}{n}\right ) =\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$
(c) $\displaystyle P\{X>\frac{1}{2}\}=1-P\{X\leq\frac{1}{2}\}=1-F(\frac{1}{2})=\frac{3}{4}$
(d) $\displaystyle P\{2<X\leq4\}=F(4)-F(2)=\frac{1}{12}$          $\rule[0.02em]{1.0mm}{1.5mm}$