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假設有 N 種不同類型的優待券, 且假設某人每次收集到的優待券其類型不但獨立於先前的收集品, 且它是 N 種不同類型中任一種的機會是均等的. 我們有興趣的隨機變數 T 是表示某人在獲得一整套優待券 (即每種類型至少有一張) 時所需收集之優待券的張數. 與其直接計算 $P\{T = n\}$ , 不如讓我們從 T 大於 n 的機率著手. 欲如此做, 首先固定 n, 且定義事件 A₁,A₂,...,A_N 如下: A_j 為首 n 張優待券中沒有第 j 種類型優待券的事件, j=1,2,...,N. 因此

$\begin{array}{rcl} P\{T>n\} &=& P \left (\displaystyle\bigcup_{j=1}^N A_{j} \ri... ...\cdots \\ \\ &&\displaystyle+(-1)^{N+1} P(A_1A_2\cdots A_N) \\ \\ \end{array}$

現在, 當首 n 張優待券中沒有類型 j 時, 事件 A_j 將發生. 因任一張優待券不是類型 j 的機率為 (N-1)/N, 所以由連續優待券之類型為獨立事件的假設, 我們得

$P(A_j) = \left (\displaystyle\frac{N-1}{N} \right )^n$

同樣, 當首 n 張優待券中沒有類型 j₁ 和類型 j₂ 的優待券時, 事件 A_j1A_j2 發生. 所以再由獨立性的假設得

$P(A_{j1}A_{j2}) = \left ( \displaystyle\frac{N-2}{N} \right )^n$

同理可得

$P(A_{j1}A_{j2}\cdots A_{jk})=\left (\displaystyle\frac{N-K}{N}\right )^n$

因此, 對 n>0, 得

$\begin{array}{rcl} \displaystyle P(T>n)&=&N\left (\frac{N-1}{N}^n\right )-{N\ch... ..._{i=1}^{N-1}{N\choose i}\left (\frac{N-i}{N}\right )^n(-1)^{i+1}\\ \end{array}$

T 等於 n 的機率可由上面的結果和下面的等式求得:

$P\{T>n-1\}=P\{T=n\}+P\{T>n\}$
或 $P\{T=n\}=P\{T>n-1\}-P\{T>n\}$

另一個有興趣的隨機變數是首 n 張收集品中不同類型之優待券的種類數 -- 以 D_n 表此隨機變數. 欲求 $P\{D_n = k\}$ , 首先將我們的注意力集中在某一組 k 種不同類型的集合上, 然後去求此組集合就是構成首 n 張收集品中不同類型之集合的機率. 現在, 為了要得到這種情況, 其充分必要條件是首 n 張優待券中
A:每一張都是這 k 種類型中的其中一種 ;
B:這 k 種類型中的每一種都有優待券.

因為任一張優待券是這 k 種類型中之一種的機率為 $\displaystyle\frac{k}{N}$ , 所以 A 將成立的機率為 $\left (\displaystyle\frac{K}{N}\right )^n$ . 又, 給予優待券是所考慮的 k 種類型中之一種, 則很容易可以得知此優待券是這 k 種類型中之任一種的機會是均等的. 因此,給予 A 發生, B 的條件機率和這 n 張優待券含有此 k 種不同類型之整套優待券的機率是一樣的, 其中每一張優待券是這 k 種類型中之任一種的機會是均等的. 但這正是收集此 k 種不同類型之整套優待券所需之張數小於或等於 n 的機率, 而此機率可用 k 取代上面式中的 N 求得. 因此, 我們得到

$P(A)=\left (\displaystyle\frac{k}{N}\right )^n$
$P(B\vert A)=1-\displaystyle\sum_{i=1}^{k-1}{k\choose i}\left (\frac{k-i}{k}\right )^n (-1)^{i+1}$

最後, 因為有 $\displaystyle{N\choose k}$ 種選取 k 種不同類型的方法, 我們得到

$\begin{array}{rcl} P\{D_n=k\}&=&\displaystyle{N\choose k}P(AB) \\ \\ &=&\displ... ...ight )^n(-1)^{i+1} \right ] \qquad\rule[0.02em]{1.0mm}{1.5mm}\\ \\ \end{array}$