$P(\cdot\vert F)$ Is a Probability

條件機率滿足一般機率的所有性質. 這件事可由底下 Proposition 得到證明, 它證明 P(E|F) 滿足機率的三個公設.

Proposition

(a)
$ 0 \leq P(E\vert F) \leq 1 $ .
(b)
P(S|F) = 1 .
(c)
若 $E_i,i=1,2,\ldots$ 為彼此互斥的事件, 則 $P\left (\bigcup_1^\infty E_i\vert F\right ) =\sum_1^\infty P(E_i\vert F)$
Proof:
(a) 首先, 我們必須證明 $0\leq P(EF)/P(F)\leq 1$. 左邊的不等式很明顯成立, 而右邊的不等式則是由於 $EF\subset F$ 的緣故. 因 $EF\subset F$, 所以 $P(EF)\leq P(F)$, 故得 $P(EF)/P(F)\leq 1$.
(b) $\displaystyle P(S\vert F)=\frac{P(SF)}{P(F)}=\frac{P(F)}{P(F)}=1$.
(c)
$\begin{array}{rcl} \displaystyle P\left (\bigcup_{i=1}^\infty E_i\vert F\right ... ...\sum_1^\infty P(E_i\vert F) \qquad\rule[0.02em]{1.0mm}{1.5mm}\\ \\ \end{array}$