Independent 獨立

Definition
P(EF) = P(E)P(F) 成立, 則稱兩事件 EF 獨立(independent). 不獨立的兩事件 EF 則稱之為相依(dependent).

Example
從一副 52 張的撲克牌中任選一張. 若 E 表示選取的牌是 A 的事件, F 表示選到黑桃的事件, 則 EF 獨立. 這是因為 $\displaystyle P(EF)=\frac{1}{52}$, 而 $\displaystyle P(E)=\frac{4}{52}, P(F)=\frac{13}{52}$的緣故.          $\rule[0.02em]{1.0mm}{1.5mm}$
Example
丟兩個銅板, 且假設四種可能結果出現的機會均等. 令 E 表示第一個銅板出現正面的事件, F 表示第二個銅板出現反面的事件, 因為 $\displaystyle P(EF)=P((H,T))=\frac{1}{4}$ 且, $\displaystyle P(E)=P((H,H),(H,T))=\frac{1}{2}$, $P(F)=P((H,T),(T,T))=\frac{1}{2}$; 所以 EF 為獨立事件.          $\rule[0.02em]{1.0mm}{1.5mm}$

Proposition
EF 為獨立事件 , 則 EFc 也是獨立事件.
Proof:
假設 EF 為獨立事件. 因 $E=EF\cup EF^c$, 且 EFEFc 為互斥事件, 所以,

$\begin{array}{rcl}
P(E)&=&P(EF)+P(EF^c) \\ \\
&=&P(E)P(F)+P(EF^c) \\
\end{array}$
or equivalently,
$\begin{array}{rcl}
P(EF^c)&=&P(E)(1-P(F)) \\ \\
&=&P(E)P(F^c) \qquad\rule[0.02em]{1.0mm}{1.5mm}\\
\end{array}$

Thus, if E is independent of F, then the probability of E's occurrence is unchanged by information as to whether or not F has occurred.