Proposition
設 ${E_n,n\geq 1}$ 為一遞增或遞減的事件序列, 則

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}P(E_n)=P(\lim_{n\rightarrow\infty}E_n)$

Proof:
首先, 假設 ${E_n,n\geq 1}$ 為一遞增的事件序列, 定義事件 $F_n,n\geq 1$, 如下:

$\displaystyle\begin{array}{rcl} F_1&=&E_1\\ F_n&=&E_n(\bigcup_{1}^{n-1}E_i)^c=E_nE_{n-1}^c,\qquad n>1 \end{array}$
其中我們利用 $\displaystyle\bigcup_1^{n-1}E_i=E_{n-1}$ 的關係, 這是因為事件是遞增的緣故. 也就是說 Fn 是由在 En 中, 但不在任一 Ei 中的所有點所組成的, 其中 i<n. 很容易可以證得 Fn 為互斥事件且滿足
$\displaystyle\bigcup_{i=1}^{\infty}F_i=\bigcup_{i=1}^{\infty}E_i$ 和 $\displaystyle\bigcup_{i=1}^nF_i=\bigcup_{i=1}^nE_i \qquad n\geq 1$

因此,

$\displaystyle\begin{array}{rcl} P(\bigcup_1^\infty E_i)&=&P(\bigcup_1^\infty F_... ...ystyle\bigcup_1^n E_i) \\ \\ &=&\lim_{n \rightarrow \infty} P(E_n) \end{array}$
此證明了當 ${E_n,n\geq 1}$為遞增時的結果. 若 ${E_n,n\geq 1}$ 為遞減序列, 則 ${E_n^c , n \geq 1} $為遞增序列; 因此,由前面的等式得 $\displaystyle P(\bigcup_1^\infty E_i^c)=\lim_{n \rightarrow \infty}P(E_n^c)$但, 因為 $\displaystyle\bigcup_1^\infty E_i^c = (\bigcap_1^\infty E_i)^c $, 故得 $\displaystyle P((\bigcap_1^\infty E_i)^c) =\lim_{n \rightarrow \infty} P(E_n^c) $
亦即 $\displaystyle1-P(\bigcap_1^\infty E_i)=\lim_{n \rightarrow \infty}[1 - P(E_n)] =1-\lim_{n \rightarrow \infty}P(E_n) $
或 $\displaystyle P(\bigcap_1^\infty E_i) =\lim_{n \rightarrow \infty}P(E_n)$
故命題得證.         $\rule[0.02em]{1.0mm}{1.5mm}$