Large Sample Tests About p

考慮假設 $H_0:p=p_0\; vs\; H_1:p\neq p_0$, 當試驗次數 n 很大時, 樣本比例為 $\displaystyle\hat{p}=\frac{X}{n}$ 會驅近於常態分佈. 在虛無假設之下, $\hat{p}$ approximate $N(p_0, \sqrt{p_0 q_0/n})$, 所以檢定統計量為 $\displaystyle Z=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0 q_0/n}}\sim N(0,1)$. 又因為對立假設為雙邊假設, 所以在顯著水準為 $\alpha$ 之下, 棄卻域為 $R:\vert Z\vert\geq z_{\alpha/2}$

例
有一項五年前的普查報告顯示某大地區中有 20% 的貧民戶, 我們想要知道現在這個比例是否改變, 故抽樣調查隨機抽取 400 戶樣本中, 發現有 70 戶為貧民戶.

我們想要檢定的假設為 $H_0:p=.20\; vs\; p\neq .20$, n=400 足夠大, 所以考慮 Z-檢定, 檢定統計量為 $\displaystyle Z=\frac{\hat{p}-.2}{\sqrt{.2\times .8/400}}$假如考慮顯著水準為 $\alpha=.05$ 的情況下, 棄卻域為 $R:\vert Z\vert\geq 1.96$,而

$\displaystyle z=\frac{(70/400)-.2}{\sqrt{.2\times .8/400}}= \frac{.175-.2}{.020}=-1.25$

|z|=1.25 小於 1.96, 並沒有落在棄卻域中, 所以在顯著水準為 $\alpha=.05$之下不考慮棄卻 H0, 也就是這項調查無法給予我們足夠的理由能夠證實貧民戶的比例有所改變. 如果由 P-value 來看,

$\begin{array}{rcl} \mbox{P-value}&=&P[\vert Z\vert\geq 1.25] \\ &=&P[Z\leq -1.25]+P[Z\geq 1.25] \\ &=&2\times .1056 =.2112 \\ \end{array}$

也就是說, 在虛無假設如果正確的情況下, 棄卻了 H0 犯錯的機會為 .2112, 所以說因此而棄卻 H0 的理由是相當的薄弱的.