母體比例參數推論

以 p 來表示全體的比例, 當試驗的次數 n 很大時, 我們考慮這樣子的檢定 $H_0:p=p_0\; vs \; p\neq p_0$, 以 X 表示 n 次的試驗中成功的次數, 則樣本比例即為 $\displaystyle\hat{p}=\frac{X}{n}$, 近似於平均數為 p 和標準差為 $\sqrt{pq}/\sqrt{n}$ 的常態分佈. 也就是說, 在虛無假設之下, $\hat{p}$的分配近似於 $N(p_0,\sqrt{p_0 q_0}/\sqrt{n})$, 因此 $\displaystyle Z=\frac{X-np}{\sqrt{npq}} \sim N(0,1)$

也可以寫成 $\displaystyle Z=\frac{(X-np)/n}{(\sqrt{npq})/n}= \frac{\hat{p}-p}{\sqrt{pq/n}}$

E(X)=np, $sd(X)=\sqrt{npq}$, 因為 $\hat{p}=X/n$, 所以
$E(\hat{p})=p$, $sd(\hat{p})=\sqrt{pq/n}$. 因此, 我們可以用 $\hat{p}$ 估計母體的比例 p; 用 $\displaystyle S.E.(\hat{p})=\sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}$ 估計母體變異數 $\displaystyle S.E.(\hat{p})=\sqrt{\frac{pq}{n}}$.