前面我們希望能夠在較小 $\alpha$ 之下, 也就是說犯錯的機率很小, 取得棄卻的機率, 但另一方面, 我們也不希望型二誤差 $\beta$ 太大.

$\alpha=P[\overline{X}\leq c]$ when $\mu=270$ (H0 true)
$\beta=P[\overline{X}> c]$ when $\mu<270$ (H1 true)

下圖可以看出 $\alpha$ 與 $\beta$ 之間的關係, 將 $\mu$ 視為一個未知的變數, 在不同的假設下得到的棄卻域 RR, 相對的可以找出 $\beta$, 在 H1 正確的情形下, 不支持 H1 犯錯的機率. 對於相同的 $\alpha$, 可以借由增加樣本數 n 來降低 $\beta$.

例
同樣的 n=38, 假設 $H_0:\mu=270\; vs\; H_1:\mu<270$ 母體變異數 $\sigma$ 未知, 則因為 n=38 > 30 屬於大樣本的抽樣, 考慮使用樣本變異數 S 來估計 $\sigma$. 所以 $\displaystyle Z=\frac{\overline{X}-270}{S/\sqrt{n}}$, 考慮顯著水準 2.5%, 則 $\alpha=.025$, z.025=1.96, 所以 $R:Z\leq 1.96$.

當觀察到 $\overline{x}=261$, s=22, 則 $\displaystyle z=\frac{261-270}{22/\sqrt{38}}=-2.52 < -1.96$, 所以在 $\alpha=.025$ 的情況下有相當的信心棄卻 H0.