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Rejection Region 棄卻域

在這兒我們仍然考慮用 $\overline{X}$ 來估計 $\mu$ , 所以在假設 $H_0:\mu=270\; vs\; H_1:\mu<270$ 中, 當 $\overline{X}$ 的值小的時後才能考慮否定 H₀ 而偏好 H₁. 所以, 一個合理的決策就是符合下面的條件,

Reject H₀ if $\overline{X}\leq c$
Retain H₀ if $\overline{X}>c$

以 $R:\overline{X}\leq c$ 來表示棄卻 H₀, 而這個集合 $[\overline{X}\leq c]$ 被稱為棄卻域(rejection region, RR or critical region), 而其中的 c, 就由犯錯的機率來決定. 假設犯錯的機率是一個很小的值如 $\alpha=.05$ , 則 c的選取需要符合下面的條件才行.

$P[\overline{X}\leq c]=.05$ when $\mu=270$

也就是說, 當在 H₀ 為正確的情況下, 我們卻棄卻了它的機率為 .05.

當抽樣的樣本數 n=38 夠大時, 母體變異數已知 $\sigma=24$ , 又因為假設 H₀ 正確, 表示為 $\mu_0=270$ 所以 $\overline{X}\sim N(270, 24/\sqrt{38})$

$\displaystyle Z=\frac{\overline{X}-270}{24/\sqrt{38}}\sim N(0,1)$

又因為 $P[Z\leq -1.645]=.05$ , 所以 $\displaystyle c=270-1.645\biggl (\frac{24}{\sqrt{38}}\biggr ) =263.60$

所以可以得知 $R:\overline{X}\leq 263.6$ 就是我們所要的棄卻域. 也就是說, 當我們抽樣得 $\overline{x}\leq 263.6$ 時就可以說棄卻 H₀ 的假設, 而且犯錯的機會很小.