Ponit Estimation of A Population Mean

首先, 我們先來看點估計的問題, 因為我們對於母體的某一個未知的參數(或稱為母數) 有興趣, 比如說母體平均數, 可以利用上一章所提到的 statistic.

A statistic intended for estimating a parameter is called a point estimator, or simply an estimator. The standard deviation of an estimator is called its standard error: S.E.

例如我們前一章中提到的, 樣本平均數(sample mean) $\overline{X}$ 以及 母體平均數(population mean) $\mu$ 之間的關係, 便可以用來做為點估計.

1.
$E(\overline{X})=\mu$.
2.
$\displaystyle sd(\overline{X})=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ so $S.E.(\overline{X})$
3.
With large n, $\overline{X}$ is nearly normally distributed with mean $\mu$ and standard deviation $\sigma/\sqrt{n}$.

當然, 當 n 很大的時候, 我們可以說 " $\overline{X}$ 可以用來估計 $\mu$", 但我們希望知道到底需要多少的 n, 或是 n 多大時 $\overline{X}$有多少可能機會會涵蓋 $\mu$. 我們知道, 變異數與 n 有關, 控制 n 的大小, 可以控制變異數的大小, 然後可以得到我們想要的.
由上圖中, 可以知道 $\overline{X}$ 用來估計 $\mu$, 在 $\pm 2\sigma/\sqrt{n}$ 的區域內, $\overline{X}$ 可能會有 95.4% 的機會涵蓋 $\mu$.