Sampling Distribution 抽樣分配

sampling distribution
The probability distribution of a statistic is called its sampling distribution.
The qualifier "sampling" indicates that the distribution is conceived in the context of repeated sampling from a population. We often drop the qualifier and simply say the distribution of a statistic.

例
現在有三住戶分別為 2,4,3, 現在由這三住戶中做抽樣, 以隨機變數 X 代表其抽樣值. 在以 X1, X2 分別表示兩次抽樣的 X 值, 試著找出 $\overline{X}$的分配.

首先先看看隨機變數 X 的分配

$\begin{array}{c\vert c} \hline x&f(x) \\ \hline 2&1/3 \\ 3&1/3 \\ 4&1/3 \\ \hline \end{array}$

再來, X1 與 X2 都是由上述的母體中抽出, 屬於相同分配且相互獨立, (x1,x2) 可能的抽樣值如下, 以 $\overline{x}=\frac{x_1+x_2}{2}$ 表示

$\begin{array}{c\vert ccccccccc} (x_1,x_2)&(2,2)&(2,3)&(2,4)&(3,2)&(3,3)&(3,4)&(... ...\hline \overline{x}=\frac{x_1+x_2}{2}&2&2.5&3&2.5&3&3.5&3&3.5&4 \\ \end{array}$

上述每一種出現的機率相等均為 $\frac{1}{9}$, 所以可以求得 $\overline{X}=\frac{X_1+X_2}{2}$ 的分配情況, 如下.

The Porbability Distribution
of $\overline{X}=(X_1+X_2)/2$
$\begin{array}{c\vert c} \hline \mbox{Value of } \overline{X}&\mbox{Probability} \\ \hline 2&1/9 \\ 2.5&2/9 \\ 3&3/9 \\ 3.5&2/9 \\ 4&1/9 \\ \hline \end{array}$