例
現在投擲一公平銅板 4 次, 正面代表(S), 反面代表(F), 隨機變數 X代表出現正面的次數, 則 $X\sim B(4,0.5)$, p=.5, 也就是說 P(S)=.5, P(F)=1-P(S)=1-p=.5. 詳列如下.


\begin{array}{c\vert ccccc} \hline \mbox{Value of }X&0&1&2&3&4 \\ \hline \mbox{P... ...& {4\choose 2}p^2q^2&{4\choose 3}p^3q^1&{4\choose 1}p^4q^0 \\ \hline \end{array}

在 ${n\choose x}$中, 代表在 n 次試驗中有 x 次成功, n-x 次失敗, 這樣的結果有 ${n\choose x}$ 種, 每一種發生的機率都是 pxqn-x. 因此, 二項分配 n 次試驗的通式 b(x;n,p) 如下, The binomial distribution with n trials and success probability p is described by the equation $f(x)=P[X=x]={n\choose x}p^xq^{n-x}$ for x=0,1,...,n. 事實上它可以看成 (p+q)n 二項展開式的一部份. $(p+q)^n={n\choose 0}p^0q^n+{n\choose 1}p^1q^{n-1}+{n\choose 2}p^2q^{n-2}+... +{n\choose x}p^xq^{n-x}+...+{n\choose n}p^nq^0$

下面接著是在相同的 n=6 之下, 不同的 p=.5, .3, .7 所產生的二項分配機率分配圖. 當 p=.5 時圖形是左右對稱的, 當 p>.5 或 p<.5 時機率分配圖形即成不對稱. 當然, 在任意對 $n\leq 2$ 的情況下都成立.

The Mean and Standard Deviation of the Binomial Distribution

The binomial distribution with n trials and success probability p has
$\begin{array}{rcl} \mbox{Mean}&=&np \\ \mbox{Variance}&=&npq \qquad \mbox{(Recall: q=1-p)} \\ sd&=&\sqrt{npq} \\ \end{array}$