期望值 Expectation

顧名思義, 期望值直觀上就是希望能夠得到的值, 或是最可能的值, 帶有平均值的意味. 假設投擲骰子 20 次, 所得到的結果如下

$\begin{array}{cccccccccc} 4&3&4&2&5&1&6&6&5&2 \\ 2&6&5&4&6&2&1&6&2&4 \\ \end{array}$

這些觀察值的平均稱為樣本平均數為,

$\displaystyle\overline{x}=\frac{\mbox{sum of the observations}} {\mbox{sample size}}=\frac{76}{20}=3.8$

利用相對頻率(relative frequency)也可以求得,

$\displaystyle\overline{x}=1(\frac{2}{20})+2(\frac{5}{20})+3(\frac{1}{20})+ 4(\frac{4}{20})+5(\frac{3}{20})+6(\frac{5}{20})=3.8$

上式可以寫成較為簡單的公式

$\mbox{Sample mean }\overline{x}= \sum(\mbox{value}\times\mbox{relative frequency})$

現在假設繼續不停得投擲, 當投了很多很多次後, 如果這顆骰子是公平的, 則每一種點數出現的相對頻率應該會接近1/6, 所以在無限次數的投擲下一個公平的骰子它的平均值應為

$\displaystyle1(\frac{1}{6})+2(\frac{1}{6})+3(\frac{1}{6})+ 4(\frac{1}{6})+ 5(\f... ...+6(\frac{1}{6})= \sum(\mbox{Value}\times\mbox{probability})= \sum x_if(x_i)=3.5$