有限樣本隨機抽樣

The Rule of Combinations
Notation:
從 n 個不同的物品中選取 r 個物品的可能組合方法, 稱為 "從 n 中選取 r 個的組合方法數". The number of possible choices of r objects from a group of N distinct objects is denoted by $\displaystyle{N \choose r}$, which reads as "N choose r".
Formula:
         $\displaystyle{N \choose r} = \frac{N\times (N-1) \times ... \times (N-r+1)} {r\times (r-1) \times ... \times 2 \times 1}$
         $\displaystyle{N \choose r} = {n \choose n-r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

A sample of size n selected from a population of N distinct objects is said to be a random sample if each collection of size n has the same probability $\displaystyle\frac{1}{{N \choose n}}$ of being selected.

例
現由 12 人中選出 4 人組成一個研究小組. 而在這 12 人中分別有 5 人屬於 A 部門, 7 人屬於 B 部門. 請問
(a)
由這 12 人中任取 4 人組成研究小組, 有幾種方法.
(b)
1 人必須為 B 部門, 3 人為 A 部門, 則有幾種方法.
(c)
如果是隨機選取的, 則選取得 1 人由 B, 3 人由 A 選出的機率為何.

解:
(a)
12 人中任取 4 人, 有 ${12 \choose 4}=495$ 方法.
(b)
1 人取自 B 部門, 有 ${7 \choose 1}=7$ 方法. 3 人取至 A 部門, 有 ${5 \choose 3}$ 方法.
所有, 總共為 ${7 \choose 1}\times {5 \choose 3}=70$ 選取的方法
(c)
隨機由 495 種可能的方式中, 選取 70 種可能的方式, 則機率為 $\displaystyle P(A)=\frac{70}{495}=.141$