變異量數 Measures Of Variation

在統計中, 我們關心的不只是數據的中心值落於何處, 對於其分布的集中情形也有興趣, 因為兩個不同的資料可能有相同的中心, 或是中心相當的接近, 但我們可以由它們的所對應的變異情況來區分其不同的性質, 在這節中將介紹一些常用的測度來比較資廖組中的變異程度.

Deviation 離差
若有 x1,x2,...,xn n 個觀測值, $\overline{x}$ 為它們的平均, 則它們的中心離差 deviations from the mean 分別為, $(x_1-\overline{x}),(x_2-\overline{x}),\ldots,(x_n-\overline{x})$,簡稱離差 deviations. 離差和為 0, $\sum (\mbox{Deviations}) = \sum (x_i-\overline{x}) = 0$

Sample Variance 樣本變異數
若有 x1,x2,...,xn n 個觀測值, $\overline{x}$ 為它們的平均, 則它們的樣本變異數為
$\displaystyle s^2=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2}{n-1} =\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_i^2-n\overline{x}^2}{n-1}$雖然, 樣本變異數 s2 為離差的平方後取平均, 但其自由度 (degree of freedom) 卻為 (n-1).

Sample Standard Deviation 樣本標準差
$\displaystyle s=\sqrt{\mbox{variance}}= \sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2}{n-1}}$

例 1
若有一組資料為: 3,5,7,7,8, 則它的樣本變異數與標準差如下

$ \begin{array}{cc\vert c\vert c} \hline &\mbox{Observation}&\mbox{Deviation}&(\... ...overline{x})^2 \\ &&& \displaystyle\overline{x}=\frac{30}{5}=6 \\ \end{array}$
Sample variance $\displaystyle s^2= \frac{16}{5-1} = 4$
Sample Standard Deviation $s = \sqrt{4} = 2$

例 2
某心理測驗中, 有六個受測體接受某一固定強度的刺激信號試驗. 他們的反應時間分別為 4,2,3,3,6,3 (秒). 則他們的平均與標準差如下,

$\begin{array}{cc\vert c}\hline &x&x^2 \\ \hline &4&16 \\ &2&4 \\ &3&9 \\ &3&... ...6&36 \\ &3&9 \\ \hline \mbox{Total}&21&83 \\ &\sum x&\sum x^2 \\ \end{array}$
$\overline{x} = 3.5 \mbox{秒}$
$\displaystyle s^2=\frac{1}{n-1}[\sum x^2 - \frac{(\sum x)^2}{n}]=\frac{83-(21)^2/6}{5}= \frac{83-73.5}{5}=\frac{9.5}{5}=1.9$
$\displaystyle s=\sqrt{1.9}=1.38$