中央量數 Measures Of Center

在統計中, 樣本數據的中心值落於何處可以用來判定母體的中心位置的可能值, 所以, 中心值的位置是研究分配的重要部份, 任何代表一組資料中心的數值稱為 位置量數 (measure of location) 或是 集中驅勢 (central tendency). 而最為常用的中心量數分別為 平均數 (mean) 和 中位數 (median).

Sample mean 樣本平均數
若有 x1,x2,...,xn n 個觀測值, 則他們的樣本平均數以 $\overline{x}$表示, 為 $\displaystyle\overline{x} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$

Sample median 樣本中位數
n 個觀測值 x1,x2,...,xn 的樣本中位數是指這些觀測值, 由小排到大時中間的那個數值. 若 n 為奇數, 則中間值即為其中位數; 若 n 為偶數, 則中位數為兩個中間值的平均.

以中位數而言比較不受觀測值的影響, 在樣本或是母體分布可能極不對稱的情況下, median 比 mean 是較為合理的資料中心位置.

例 1
由某醫院觀察一天中出生的五個嬰孩的的出生體重分別為 9.2, 6.4, 10.5, 8.1, 7.8 磅, 則這些資料的平均值, 也就是平均體重為 $\displaystyle\overline{x}= \frac{9.2+6.4+10.5+8.1+7.8}{5}=\frac{42.0}{5}=8.4 pounds$

例 2
在 例 1 中的出生體重由小至大排列為 6.4, 7.8, 8.1, 9.2, 10.5, 則 8.1 即為此組資料的中位數.

例 3
有一組存活時間的資料如下 3, 15, 46, 64, 126, 623 天, 則它的中位數即為 $\displaystyle Median = \frac{46+64}{2} = 55 days$, 它的平均數即為 $\displaystyle\overline{x}=\frac{3+15+46+64+126+623}{6}=\frac{877}{6}=146.2 days$